数学人教A版 ·必修2

第二章2.2.2 平面与平面平行的判定

温故知新 1.两个平面之间的位置关系： 相交和平行 ，两平面之间 的位置关系依据公共点的个数来划分的. 2.a∥b,b α, a α 则a∥α(线面平行的判定定理).

3.判定线面平行的方法有：定义和 判定 定理，虽然可以 用定义判定，但不易操作，所以常用判定定理，转化为证明 “线线平行”,体现了“空间问题平面化”的基本思想.

4.长方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是平面 ABCD、平面A′B′C′D′的中心，长方体的6个面中与EF 平行的有( A.1个[答案] D

) B.2个 C.3个 D.4个

5.若直线m不平行于平面α,且m α,则下列结论成立的 是( ) A.α内的所有直线与m异面 B.α内不存在与m平行的直线 C.α内存在唯一的直线与m平行 D.α内的直线与m都相交[答案] B

新课引入 木工师傅用气泡式水准仪在桌面上交叉放两次，如果水 准仪的气泡都是居中的，就可以判定这个桌面和水平面平 行，想一想，这是依据什么道理？

自主预习 阅读材料P56~57回答下列问题. 平面与平面平行的判定定理 文字 一个平面内的两条 相交 直线与另一 语言 个平面 平行 ，则这两个平面平行 图形 语言

符号 语言 作用

a β,b β, a∩b=P ,a∥α,b∥α α

∥β证明两个平面 平行

[破疑点]平面与平面平行的判定定理告诉我们，可以通过 直接与平面平行来证明平面与平面平行.通常我们将其记 为：线面平行，则面面平行.因此处理面面平行(即空间问题) 转化为处理线面平行，进一步转化为处理线线问题(即平面问 题)来解决，以后证明平面与平面平行，只要在一个平面内找 到两条相交直线和另一个平面平行即可. 关于判定两平面平行的另一种方法：若一个平面内的两 条相交直线与另一个平面内的两条相交直线对应平行，则这 两个平面平行.

已知三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是棱PA,PB,PC 的中点.求证：平面DEF∥平面ABC.

[证明]

如图所示，在△PAB中，

因为D,E分别是PA,PB的中点，所以DE∥AB. 又AB 平面ABC,DE 平面ABC,因此DE∥平面ABC. 同理，EF∥平面ABC.又因为DE∩EF=E, 所以平面DEF∥平面ABC.

平面与平面平行判定定理的理解学法指导 对面面平行的判定定理的理解

(1)定理可简记为：线面平行，则面面平行.这里的 “线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面. (2)用该定理判定两个平面平行需同时满足5个条件： a α,b α,a∩b=A,a∥β,b∥β.

[例1]

下列命题正确的是(

)

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这 两个平面平行； ②一个平面内有无数条直线都与

另外一个平面平行，则 这两个平面平行； ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两 个平面平行；

④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行. A.①③ C.②③④[答案] D

B.②④ D.③④

[解析]

如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就

说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线. 对于①:一个平面内有两条直线都与另外一个平面平 行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相 交也能够找得到这样的直线存在. 对于②:一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平 行，同①.