中国矿业大学(徐州)09级_大一上学期_数学分析(1)期末试题(A卷)及答案

中国矿业大学09～10学年第1学期

《 数学分析(1) 》试卷(A)

考试时间：120分钟 考试方式：闭卷

学院 理学院 班级__ _ _______姓名___ _______学号__________

一、叙述题(每题5分共20分)

1．叙述f(x)在区间I上有上确界A的定义。

f(x)不是无穷大的定义。 2．叙述limf(x) 的定义，并叙述lim

x

x a

3. 叙述闭区间上连续函数的介值性定理。

4. 叙述导数极限定理。

二、计算题（每题5分共20分）

1． 设liman a（an 0,a 0），求

n

n22

2．求曲线x 1 t,y t t在t 1对应点的切线方程。

3．求lim

x 0

tanx sinx

。

sin3x

4．求f(x) 2x3 x4的极值。

三、证明题（每题10分共60分） 1．设an 1

2. 设f(x)在( , )连续，且limf(x) A，limf(x) B。证明f(x)在( , )

x

x

111

，证明数列 an 收敛。 2232n2

上一致连续。

3. 设limg(x) ，而limf(u) A，证明

x x0

u

x x0

limf[g(x)] A。

1 x2

,x 0 xsin

4. 设f(x) 2 x

0,x 0

（1）求导函数f (x)；

（2）证明f (x)在点x 0不连续；

（3）证明f(x)在点x 0的任何邻域不单调。

5. 证明不等式：

h

arctanh h，其中h 0。 1 h2

6. 设f(x)在[a,b]具有二阶导数，且f (x) 0，证明对[a,b]内任意n个点x1,x2, ,xn有不等式

f(x) f( x)

i

i

ii

i 1

i 1

nn

其中 i 0(i 1,2, ,n),

i 1

n

i

1

一、叙述题(每题5分共20分) （略）

二、计算题（每题5分共20分）

1． 设liman a（an 0,a

0），求

n

n解 取 0满足0 0 a，由liman a知， N N ，当n N时，

n

a 0 an a 0

从而

n

n

n

a 0 an a 0

n

n

n

n

上式两边取极限并利用结论limc 1(c 0为常数)和迫敛性得liman 1。

22

2．求曲线x 1 t,y t t在t 1对应点的切线方程。

解 因为 x 2t,y 1 2t，

所以当t 1时，x 0,y 0；x 2,y 1。 那么切线方程为

x 0y 0

即x 2y 0 2 1

或

dyy (t)1 2t

dxt 1x (t)t 1 2t

当t 1时，x 0,y 0，故切线方程是

1 2t 1

y 0

3．求lim

x 0

1

(x 0) 2

tanx sinx

。

sin3x

12x xtanx sinxtanx(1 cosx) 1。 lim解 lim lim

x 0x 0x 0sin3xsin3xx32

或

tanx sinxtanx sinx 1 cos3x0 lim limlim2 332x 0x 0x 0sinxx3xcosx1 cos3x 03cos2xsinx10 limlim x 0x 03x26x2

或

1313 3 x x o(x) x x o(x3) tanx sinx33! lim limx 0x 0sin3xx3

13

x o(x3)

1 lim

x 0x32

4．求f(x) 2x x的极值。

解 f (x) 6x 4x 2x(3 2x) 0，得稳定点x 0,

2

3

2

3

4

3

2

3

f (x) 6x2 4x3 2x2(3 2x) 0，得稳定点x 0,

2

又 f (x) 12x 12x2 12x(1 x)，f (x) 12(1 2x)

f (0) 0,f (0) 0，所以f在x 0不取极值。 33327f () 9 0，所以f在x 取极大值f() 。

22216

三、证明题（每题10分共60分） 1．设 an 1

111

,n 1,2, ，证明数列 an 收敛。 2232n2

证 显然 an 递增，下证 an 有上界。事实上，

an 1

111 22223n

1

111 1 22 3(n 1)n

1 1 11 1 1 1

2 23 n 1n 2

1

2,n 1,2, 。 n

于是由单调有界定理， an 收敛。 或

an p an

111

(n 1)2(n 2)2(n p)2

111111

n(n 1)(n 1)(n 2)(n p 1)(n p)n(n p)n

由Cauchy准则，易知 an 收敛。

2. 设f(x)在( , )连续，且limf(x)，limf(x)都存在。证明f(x)在( , )上

x

x

一致连续。

证 因为limf(x)存在，由Cauchy准则可知， 0， X1 0，当x ,x X1时，

x

有

f(x ) f(x ) 。 (1)

又由limf(x)存在， X2 0，当x ,x X2时，有

x

f(x ) f(x ) 。 (2)

另一方面f在[X1 1,X2 1]上连续，所以在[X1 1,X2 1]一致连续。于是即对上述 ， (0,1)，当x ,x [X1 1,X2 1]，且x x 就有

f(x ) f(x ) 。 (3)

这样，当x ,x ( , )，且x x 时， (i) 若x ,x X1，由(1)式，f(x ) f(x ) ； (ii) 若x ,x X2，由(2)式，f(x ) f(x ) ；

(iii) 若x [X1,X2]或x [X1,X2]，则x ,x [X1 1,X2 1] 由(3)式，f(x ) f(x ) 。

根据定义，即得f(x)在( , )上一致连续。 或

承上，f在( ,X1],[X1,X2],[X2, )都是一致连续的，由书上例题结论

f(x)在( , )上一致连续。

3. 设limg(x) ，而limf(u) A，证明

x x0

u

x x0

limf[g(x)] A。

证 由limf(u) A， 0, G 0，当u G时，有

u

f(u) A

由limg(x) ，对上面G， 0，当0 x x0 时，有

x x0

g(x) G

综上， 0， 0，当0 x x0 ，有

f[g(x)] A

即 limf[g(x)] A

x x0

1 x2

,x 0 xsin

4. 设f(x) 2 x

0,x 0

（1）求导函数f (x)；

（2）证明f (x)在点x 0不连续；

（3）证明f(x)在点x 0的任何邻域不单调。 证 (1) f (0) lim

x 0

1 1f(x) f(0) 1

lim xsin x 02x 2x 0

,x 0

1 1 2xsinx cos 2x

f (x)

1

2

(2) 因为lim 法)lim

,x 0

1 1 1

2xsinx ，而 limcos不存在（理由见后），易知(用反证

x 02x 0x 2

1 1

2xsinx cos 不存在。所以f (x)在点x 0不连续；

x 02x

事实上，取

xn

11

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