高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《2.2等差数列》第2课时课件

第2课时 等差数列的性质及其应用【课标要求】 1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律. 2.理解等差数列的性质. 3.掌握等差数列的性质及其应用. 【核心扫描】 1.等差数列的性质及证明.(重点) 2.运用等差数列定义及性质解题.(难点)

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自学导引1. 等差数列的项与序号的关系 两项关系 多项关系

项的运算性质： 通项公式的推广： n = p + q(m , n , p , (n-m)d m,n∈N*) 若 m + an=am+_______( am+an =ap+aq q∈N*),则_______

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:在等差数列{an}中，如果m+n=2w(m,n,w∈N+), 那么am+an=2aw是否成立？反过来呢？ 提示：若m+n=2w(m,n,w∈N+),则 am+an=[a1+(m-1)d]+[a1+(n-1)d] 1 =2 a1+ m+n-2 d 2 =2[a1+(w-1)d]=2aw,显然成立； 在等差数列{an}中，若am+an=2aw, 不一定有m+n=2w,如常数列.

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2. 等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首项与末项的和.即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…… (2)若{an}、{bn}分别是公差为d,d′的等差数列，则有 数 {c· an} 列 结 论 {c+an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数)

{an+an+k}{pan+qbn}

公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数)

(3){an}的公差为d,则d>0 {an}为递增数列；d<0 {an}为 递减数列；d=0 {an}为常数列.课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

名师点睛1. 等差数列的公差与斜率的关系 (1) 一次函数 f(x)=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，斜率f x2 -f x1 (2) k= (x1≠x2). x2-x1 当k=0时，对于常数函数f(x)=b,上式仍然成立. (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率. 如am,an是等差数列{an}的任意两项，由an=am+(n-m)d, an-am 类比直线方程的斜率公式得 d= . n-m

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2. 等差数列的“子数列”的性质 若数列{an}是公差为d的等差数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数 列； (2)奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列； 偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列； (3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列； (4)从等差数列{an}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差 数列，当然公差也随之发生变化.

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题型一

等差数列性质的应用

【例1】 已知等差数列{an}中，a2+a6+a10=1,求a4+a8. [思

路探索] 分析题目，可利用等差数列性质，也可利用通 项公式求解. 解 法一 根据等差数列性质 a2+a10=a4+a8=2a6. 1 由 a2+a6+a10=1,得 3a6=1,解得 a6= , 3

2 ∴a4+a8=2a6= . 3课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

法二 根据等差数列的通项公式，得 a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)=3a1+15d. 1 由题意知，3a1+15d=1,即 a1+5d= . 32 ∴a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)= . 3 法一运用了等差数列{an}的性质：若m+n= p+q=2w,则am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w都 是正整数);法二利用通项公式转化为数列的首项与公 差的结构完成运算属于通性通法.两种方法都运用了 整体代换与方程的思想.

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【变式1】 在等差数列{an}中： (1)若a3=5,则a1+2a4=________; (2)若a15=8,a60=20,则a75=________. 解析 (1)a1+2a4=a1+(a3+a5)=(a1+a5)+a3=2a3+a3= 3a3=15. (2)法一 设首项为a1,公差为d. ∵a15=8,a60=20, 64 a1=15, a1+14d=8, 解得 a1+59d=20, d= 4 . 15

64 4 故 a75=a1+74d= +74× =24. 15 15课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

法二 ∵a60=a15+(60-15)d 20-8 4 ∴d= = , 60-15 15 4 ∴a75=a60+(75-60)d=20+15× =24. 15法三 ∵{an}为等差数列， ∴a15,a30,a45,a60,a75成等差数列，设公差为d, 则a15为首项，a60为第4项. ∴a60=a15+3d,即20=8+3d, ∴d=4. 从而a75=a60+d=20+4=24. 答案 (1)15 (2)24课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

题型二

等差数列的设法与求解

【例2】 (1)三个数成等差数列，和为6,积为-24,求这三个 数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项 的积为-8,求这四个数. [思路探索] (1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为 a-d,a,a+d(d为公差); (2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设 为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d).

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解 (1)法一 设等差数列的等差中项为a,公差为d, 则这三个数分别为a-d,a,a+d. 依题意，3a=6且a(a-d)(a+d)=-24, 所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24, 化简得d2=16,于是d=±4, 故三个数为-2,2,6或6,2,-2. 法二 设首项为a,公差为d,这三个数分别为a,a+d,a+2d, 依题意，3a+3d=6且a(a+d)(a+2d)=-24, 所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24, 得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12, 即d2=16,于是d=±4,三个数为-2,2,6或6,2,-2. (2)法一 设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 依题意，2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,课前探究学习 课堂

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即a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. 法二 若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d), 依题意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8, 3 把 a=1- d 代入 a(a+3d)=-8, 2 3 3 得 1- d 1+ d =-8,即 2 2

9 2 1- d =-8, 4

化简得d2=4,所以d=2或-2. 又四个数成递增等差数列，所以d>0,所以d=2, 故所求的四个数为-2,0,2,4.课 …… 此处隐藏：1598字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……