大学资料,高等数学资料,常数项级数的概念和性质

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第十一章 无穷级数无穷级数

数项级数 幂级数 付氏级数

无穷级数是研究函数的工具问题 :问此人能走多远 ?

表示函数 研究性质 数值计算

(1)一个人第一天走了10 公里 ,以后每天走前一天的一半 ,( 2 )一个人第一天走了 公里 , 第二天走了 公里 , 第 n 天 1 2 1 走了 公里 ,问此人能走多远 ? n 1

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第一节 常数项级数的概念和性质一. 常数项级数的概念

引例. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正 3 2n ( n 0 , 1, 2 , ) 边形,

它们的面积可表示为

a0 a1 a2 an

n 时, 这个和逼近于圆的面积 A.即

A a0 a1 a2 an 3

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1.定义： 给定一个数列 u1 , u 2 , u3 , , u n , 将各项依次相加，简记为 n 1

un 1

n

, 即

un u1 u2 u3 un 称上式为无穷级数，其中第 n 项n

2.级数的前 n 项和 S n uk u1 u2 u3 un称为级数的部分和 . S1 , S 2 , Snn k 1

u n 叫做级数的一般项,

如果 lim S n S 存在 , 则称无穷级数 n 1

称为部分和数列.

un 1

n

收敛 ,

并称 S 为级数的和, 记作 S un , 否则称为发散 .4

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例如

1 1 1 数列 1, , 2 , , n 1 , 2 2 2

可组成一无穷级数

2n 1

1n 1

通项

un

1 2n 1 n

Sn i 1

1i 1

2

lim S n 2n

1 1 n 2 2 1 n 1 1 2 1 2

n 1

1 2n 1

收敛

且 n 1

1 2n 1

25

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例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)

aqn 0

n

a a q a q a q (a 0 )2 n

( q 称为公比 ) 的敛散性.则部分和 解: 1) 若 q 1 ,

Sn a a q a q a q2

n 1

a a qn 1 q

当 q 1 时, 由于 lim q 0 , 从而 lim S n n n n

a 1 q

因此级数收敛 , 其和为

a

1 q n 当 q 1 时, 由于 lim q , 从而 lim S n , 因此n

;

n

级数发散 .

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a qn a a q a q2 a qn ( a 0 ) n 0

2). 若 q 1 , 则 当 q 1 时 S n n a , 因此级数发散 ; 当 q 1 时, 级数成为

因此

a a a a ( 1) n 为奇数 a, Sn n 为偶数 0,n

n 1

a

从而 lim S n 不存在 , 因此级数发散. 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;

q 1 时, 等比级数发散 .

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例2. 判别下列级数的敛散性. n 1 1 (1) ln ; (2) . n n 1 n 1 n(n 1) 解: (1) 2 4 n 1 3 S n ln ln ln ln 1 3 n 2

(ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) ln( n 1) ln n

ln( n 1) ( n )所以级数 (1)

发散 ;

技巧:利用 “拆项相消” 求 和 8

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例2. 判别下列级数的敛散性. n 1 (1) ln ; n n 1

(2)

n(n 1) .n 1

1

(2) S n

1 1 2

1 2 3

1 3 4

1 n (n 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n 1

1

1 n 1

1 ( n )

所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .

技巧:利用 “拆项相消” 9求 和

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例3

判别无穷级数

1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)1 1 1 1 ( ), 解 un ( 2 n 1)( 2 n 1) 2 2 n 1 2 n 1

1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2 n 1) ( 2 n 1)1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 110

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1 1 (1 ), 2 2n 11 1 1 lim s n lim (1 ) , n n 2 2 2n 1

1 级数收敛 , 和为 . 2

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例 4 设数列 {nan }收敛 , 级数 n ( a n a n 1 )收敛 ,n 2

证明级数 a n也收敛 .n 1

证明 : 记 lim na n A,

k ( a k a k 1 ) ( a2 a1 ) 2( a3 a2 ) n 1)an 1 an ) ( (k 2

n 1

n

n(an 2

n

a n 1 ) S ,

a k n 1) a n 1 (k 112

n

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a k n 1) a n 1 k ( a k a k 1 ) (k 1 k 2

n

n 1

即 lim

n

ak 1

n

k

lim n 1) a n 1 lim (n

n

k (ak 2

n 1

k

a k 1 )

A S 级数 a n收敛 .n 1

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例 5 证明调和级数

n 1 2 3 n 发散 .n 1

1

1

1

1

证明 : 考虑曲线 y 由到所围曲边梯形的面积,x

1

由图知

Sn 1

1 2

1 nA1

A1 A2 An n 1

1

x 级数发散.1

dx ln(1 n )

A2

An

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