5-3一阶电路的零输入响应一阶电路:从电路看,含有一个独立储能元件从方程看,建立的KCL,KVL微分方程是一阶微分方程零输入:即没有输入,靠储能元件储存的初始能量维持过渡过程一、R C短接电路开关K在1位置已达稳态，将K从1切换到2 R0 1 K uC (0+ )= S U t=0时刻 uC (0-)= U S换路 U iC (0-)= 0 iC 2 iC (0+ )= S t>0参考方向一致 R US uC duC C R uC+ R iC= 0 RC dt+ uC= 0 1 s= 特征方程: RCs+1=0, RC uCp= 0 1.特解:强制分量(稳态分量) 1 t st RC uCh= Ae 2.齐次解:自由分量(暂态分量)= Ae

3.全解

uC (t ) uCp (t )+ uCh (t )= Ae=

1 t RC

4.由初始确定待定系数 US

uC (0+ ) uC (0 ) U S==

uC (0+ )= A= U S

uC(t)t 0

uC (t )= U S e

1 t RC

t≥0

US R

iC(t)

duC i C (t )= C dt 1 U S RC t= t>0 e R

从初值按指数规律衰减

能量关系：R0 1K 2 US R uC iC C

uC(0+)=US

uC(∞)=0

C不断释放电场能量供R消耗,直到全部释放完毕.

电容放出能量

= WC (0+ ) W= WC C (∞)

1 CU S 2 2

电阻吸收(消耗)能量WR (0,∞ )=∫∞ 0t U S RC 2 1 R i dt= ( R e CU ) dt= S 2∫0 R 2

2

∞

讨论: 1. RC的含义: (1)量纲:秒令τ=RC,称τ为一阶RC电路的时间常数时间常数τ的大小反映了电路过渡过程时间的长短电压初值一定： C大(R不变) R大( C不变) W=Cu2/2放电功率 u2/R储能大放电时间长小

(2).τ只与电路结构及参数有关，与外界激励无关 (3).τ越大，曲线越平坦，衰减越慢，

τ越小，曲线越陡峭，衰减越快。 U0τ大τ小t tτ

ucτ大τ小4τ U0 e -4 5τ U0 e -5

过渡过程的时间长过渡过程的时间短 0 0 3τ U0 e -3 t∞ 0

τ

2τ U0 e -2

uC (t )= U 0 e

U0 U0 e -1 U0 0.368 U0

0.135 U0 0.05 U0 0.0183 U0 0.0067 U0

工程上认为,经过 3τ - 5τ,过渡过程结束。

2、从衰减曲线求τ:

= U 0e uC (t )duC k= dtp

1 t RC

t≥0

U0

t U 0 tτ1 d= U 0eτ = eτ dt t=t1

U 0 tτ1 ( )e切线方程： u1= k (t t2 )= (t t2 ) (t)

τ

∵ u1(t1)= uC (t1)

( P为任意一点

U0

τ

)e

t 1

τ

U0 (t1 t2 )=e

t 1

τ

τ=2 t1 t

实例：高压开关

电缆线

横截面

高压开关发电厂电缆传输线 10KV,如果要检修电缆，开关打开，等效电路图如下图： C:两导线间电容 R:两导线间绝缘电阻+τ=RC=100 s R C 5分钟后，t=300(s)开始检修=2μF=50MΩ u (3τ ) 5 0 0× uC (0+ ) 5 0 0×10×103 500V===

减小时间常数，通常用一个铁棒短路

二、RL短接电路R0 1 K 2 US R uL

1.特解：

i LP= 0

开关K在1位置已达稳态，现将K从1切换到2 US t<0:= iL (0 )= 0 uL (0 ) t=0时刻 R0换路 US US iL (0+ )= uL (0+ )= R iL R0 R0 L di L L+ iL R= 0 0 t>0: uL+ iL R= dt R s= Ls+ R= 0 LR t L R

t L

= A es t A e= 2.齐次解：iLh3.全解：

i (t )= iLP+ iLh= Ae US 4.由初值定常数： iL (0+= )= A R0

US Rt iL ( t )= e L t≥0 R0 di uL ( t )= L dt RU S R t e L= t>0 R0

US R0

iL(t)t 0

RU S R0

uL(t)

讨论： L

US Rt iL ( t )= e L t≥0 R0 di uL ( t )= L dt RU S R t e L= t>0 R0

1. R的含义：(1)量纲：秒亨韦伏 秒 L[τ]=[]=[]=[]=[]=[秒]欧安 欧安 欧 R

令τ= L/R,称为一阶RL电路时间常数 i(0+)一定： L大 R小初始储能大放电功率 i 2 R小放电慢τ大

(2).τ只与电路结构及参数有关，与外界激励无关 (3).τ越大，曲线越平坦，衰减越慢，

τ越小，曲线越陡峭，衰减越快。2.零输入响应是初始值的线性函数

iL (t ) iL (0+) e=

t

τ

实例 K(t=0)+ 10V原因+ RV

iLR=10 L=4H=1A

t=0时,打开开关K,电压表量程：50V现象：电压表坏了

uV V– 10k iL(0+)= iL (0-)

L 4τ= = 4× 10 4 s R+ RV 10000 2500t

iL=+)e i (0

t/τ

= e

续流二极管

uV= iL= RV 10000e

2500 t

t>0

iL+ 10V R L

uV (0+)= - 10000V

造成

V损坏。

小结： 1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值按指数规律衰减为零的。

y (t )= y (0+ )e

t

τ

2.衰减快慢取决于时间常数τ RC电路τ= RC, RL电路

τ= L/R

3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。