3.5.1直角三角形的判定和性质

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§3.5

B

A

┏

C

湘潭凤凰实验中学

执教者： 谭

静

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回顾

1.直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形叫直角三角形。2.直角三角形的判定： 有一个角是直角的三角形是直角三角形。B

探索直角三角形的判定 3.直角三角形的性质：A ┏ C

直角三角形的两锐角__ 互余。

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已知如图在Rt△ABC中，∠C=90° , 90° 则两锐角的和∠A+∠B=___。 反之，在△ABC中，如果∠A+∠B=90° (是) 那么△ABC是直角三角形吗？

A

由三角形的内角和性质得： 证明： A+ B+ C=180 , 又 A+ B=90 , C=90 , ABC 是直角三角形。直角三角形的判定定理：

B

C

有两个角互余的三角形是直角三角形。

新授

1.在△ABC中，∠A=35°,∠B=55°,练 习一

直角 则此三角形为___三角形。

2. 如图，已知AB∥CD,∠BAC和∠ACD 的角平分线相交于H点。那么△AHC是 直角三角形吗？ (是)为什么？证明：

AH

B

AB CD, BAC DCA 180 .

C

D

1 1 又 CAH BAC , ACH DCA, 2 2 1 CAH ACH ( BAC DCA), 2 1 180 90 . 2

AHC是直角三角形。

新授

探索直角三角形的性质

任意画一个直角三角形△ABC,∠C=90°, 作出斜边AB边上的中线CD, 并利用圆规 D 或者直尺比较中线与斜边的一半的长短. CD=__AD=__BD=__AB=__。

A

B 1 你发现了什么？ CD AD BD, CD AB 2 由此猜想：

C

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 让我们一起来证明这个猜想吧！

新授

已知：Rt△ABC中，∠C=90°,CD是斜边AB中线.

A

1 求证：CD= AB. 2证明：

如图(2)作直角边AC的垂直平分线，分别 交AB、AC于点D、点E,连结CD, CD AD (垂直平分线的性质) B 1 A(等边对等角)

D

(1)

直角三角形的性质定理： A+ B=90 .D E 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2= B(等角的余角相等)

又∵ 1 2 90 ,

C A

CD=BD (等角对等边)

CD=AD=BD (等量代换)∴D为AB的中点，CD为斜边AB的中线， 1 且CD= AB 2B

1 2 (2) C

新授

练 习二

1、已知一个直角三角形的斜边长为8,则斜 4 边上的中线长为__。 D

A

2、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线, 70° 20° ∠B=70°,则∠BCD=__, ∠A=__, 140° 20° ∠ACD=__, ∠ADC=__. 3、如图所示：它是人字屋架设计图，其中 AB=AC=5米，AE⊥BC,D是AB的 2.5m 中点 ，DE=___。 AD B

B

C

E

C

新授

练 习一 练 习二

2. 如图，AB∥CD中，∠A和∠C的角平分线 相交于H点。那么△AHC是直角三角形吗？ E 为什么？ 若E为AC的中点，EH=2, 4 则AC__。证明：

AH

B

AB

CD, BAC DCA 180 .

C

D

1 1 又 CAH BAC , ACH DCA, 2 2 1 CAH ACH ( BAC DCA), 2 1 180 90 . 2

AHC是直角三角形。

新授

动动笔

做一做

直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。 如果三角形中一边上的中线等于这条边 反过来，如果三角形一边上的中线等于这条边的 的一半，那么这个三角形是直角三角形。 一半，那么它是直角三角形吗？2

已知：如图在△ABC中，CD是△ABC的AB边上的中线， 1 A 且CD= AB。 求证：△ABC是直角三角形。1 证明：∵CD是中线，CD = AB, 2∴AD=CD, CD=BD ∴∠A=∠1,∠B=∠2 ∵∠A+∠1+∠B+∠2=180° ∴∠A+∠B=∠1+∠2=90°

D1

B

2

C

∴ △ABC是直角三角形。

新授

练 习 三

1、△ABC中，点D是AB的中点，连结 CD,测得CD=5cm,AB=10cm,则 直角 △ABC是___三角形.

2、已知：如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°, 连接AC,E为AC中点，且BE=DE. 求证： △ ADC是直角三角形。 A证明： ABC 90 , E为AC中点， 1 BE AC. 2 1 又 BE DE , DE AC. 2

E C

B

ACD是直角三角形.

D

(如果三角形中一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。)

新授

直角三角形的性质： 1.直角三角形的两锐角互余。 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 直角三角形的判定： 1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2. 两锐角互余的三角形是直角三角形。 3.如果三角形一条边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。

新授

如图是一副三角板拼成的

四边形ABCD,E为AD的中点。点E与点B,C的距离相(相等) 等吗？ 请说明理由。

A

E F D

C

连结BC,取BC的中点F,你能知道EF与 (EF垂直平分BC) BC的位置关系吗？

新授

作业：《基础训练》P35谢谢各位领导、同仁！

谢谢115班的同学们！

新授

动动笔

做一做

直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。 如果三角形中一边上的中线等于这条边 反过来，如果三角形一边上的中线等于这条边的 的一半，那么这个三角形是直角三角形。 一半，那么它是直角三角形吗？1 且CD= AB。 2C1 2

已知：如图在△ABC中，CD是△ABC的AB边上的中线， 求证：△ABC是直角三角形。1 证明：∵CD是中线，CD = AB, 2∴AD=CD, CD=BD∴∠A=∠1,∠B=∠2 A D ∵∠A+∠1+∠B+∠2=180° ∴∠A+∠B=∠1+∠2=90° ∴ △ABC是直角三角形。

B