2014高考理科数学(新课标·通用)第9专题 高考解题中的数学思想

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专题9

第三篇

阅 读 专 题

【高考考情解读】 数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括， 数学思 想方法较之数学知识具有更高的层次，具有理性的地位，它 是一种数学意识，属于思维和能力的范畴，它是数学知识的 精髓，是知识转化为能力的桥梁.数学思想方法是使

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复杂问题简单化，抽象问题具体化，变抽象思维为形象 思维的过程，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律 性与灵活性的有机结合. 纵观近几年的高考试题， 都加大了对数学思想方法的考 查， 把对数学思想方法的考查寓于对各部分知识的考查之中， 以知识为载体，着重考查能力与方法的题目很常见.预测 2014 年数学高考中， 还会有较多的题目以数学知识为背景， 考查数学思想方法，对数学思想方法的考查不会削弱，只会 更加鲜明，更加重视. 【函数与方程的思想】 1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究

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数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函 数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解 决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是 善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题. 2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关 系，从而建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或 方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获 得解决.方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解 题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题. 方程思 想是动中求静，研究运动中的等量关系. 3.涉及的几个问题： (1)函数和方程是密切相关的，对于函数 y=f(x),当 y

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=0 时，就转化为方程 f(x)=0,也可以把函数式 y= f(x)看作二元方程 y-f(x)=0,函数问题(例如求函数的值 域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为 函数问题来求解，如解方程 f(x)=0,就是求函数 y=f(x) 的零点. (2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数 y=f(x), 当 y>0 时，就转化为不等式 f(x)>0,借助函数图象与性质 解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式. (3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数， 用函数的观点处理数列问题十分重要. (4)解析几何中的许多问题，常需要通过解二元方程组 才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论.

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立体几何中有关线段、面积、体积的计算，也常需 要运用列方程或者建立函数表达式的方法加以解决. 热点一： 函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用 在遇到有关求范围、解(证)不等式、解方程以及讨论参 数的取值范围等问题时，常通过构造函数，借助相关初等函 数的性质求解. 2 已知实数 a,b,c,有 a>b>c,a+b+c=1,a 2 2 2 2 +b +c =1,求 a+b 与 a +b 的范围. 【解析】a+b+c=1 a+b=1-c. a2 + b2 + c2 = 1 (a + b)2 - 2ab + c2 - 1 = 0 (1 - c)2 - 2 2 2ab+c -1=0 ab=c -c,且 a+b=1-c. 2 2 构造一个一元二次方程 x -(1-c)x+c -c=0,a,b

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是该方程的两个不相等的根，且两根都大于 c,令 f(x) 2 2 =x -(1-c)x+c -c,则由图象与 x 轴有两个交点且都在 (c,+∞)内，

2 2 Δ =( c - 1 ) - 4 ( c -c)>0, 1-c >c, 知 2 f(c)=3c2-2c>0,

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1 4 8 ∴- <c<0,∴1<1-c< , <1-c2<1, 3 3 9 4 8 2 2 即 a+b∈(1, ),a +b ∈( ,1). 3 9 【点评】(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设 条件构建以待求字母 ( 式子)为元的方程 (组) ,然后由方程 (组)求得. (2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析 几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径： 其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为 元的不等式(组)求解；其二，充分利用题设中的等量关系， 将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知

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识求值域. (3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二 次方程的明显信息， 构造方程后再利用方程知识可巧妙解决 问题. (4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去 减少变量的个数， 如果最后能把其中一个变量表示成关于另 一个变量的表达式， 那么就可用研究函数的方法将问题解决. 热点二：利用函数与方程相互转化的观点解决函数、方 程问题 在解决函数、方程问题时，我们经常利用两者的联系进行转 化.若将变量间的等量关系看成函数关系，则可以将等

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量关系式转化成函数， 这时妙用函数的有关性质(值域、 与坐标轴交点情形等)就可解决问题；若将等量关系式看成 关于某个未知量的方程， 则利用解方程或考虑根的情形可求 得变量. a(x-1) 已知函数 f(x)=ln x- . x+b (1)当 b=1 时，若函数 f(x)在(0,+∞)上为单调增函 数，求 a 的取值范围； (2)当 a>0 且 b=

0 时，求证：函数 f(x)存在唯一零点 的充要条件是 a …… 此处隐藏：2197字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……