点线面之间的位置关系习题
时间:2025-07-09
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必修二
2、三个平面将空间分成k个部分,求k的可能取值.
分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论,按条件可将三个平面位置情况分为
5种:(1)三个平面相互平行 (2)两个平面相互平行且与第三个平面相交 (3)三个平面两两相交且交线重合 (4)三个平面两两相交且交线平行 (5)三个平面两两相交且交线共 3、如图所示,O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心,G是对角线A1C和截面B1D1A
的交点,求证:O1、G、A三点共线。
立体几何之点线面之间的位置关系(一)
1、公理
(1)公理 1:对直线 a 和平面α,若点 A、B∈a , A、B∈α,则
P的公共直线 a
(3)公理 3: 不共线的三点可确定一个平面 推论:① 一条直线和其外一点可确定一个平面
②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面
(4)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行
(
2)公理 2:若两个平面α、β有一个公共点P,则α、β有且只有一条过点
4、已知棱长为a的正方体求证:四边形是梯形。
中,M、N分别为CD、AD中点。
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么
这两个角相等.
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系:相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900
练习
1、已知直线l1、l2和l3两两相交,且三线不共点. 求证:直线l1、l2和l3在同一平面上.
l2
A
l1
l3
B
5、如图,A是平面BCD外的一点G,H分别是 ABC, ACD的重心, 求证:GH//BD.
B
D
必修二
6、如图,已知不共面的直线a,b,c相交于O点,M,P是直线a上的两点,N,Q分别是b,c求证:MN和PQ
7、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是
A
C1
立体几何之点线面之间的位置关系(二)
C
A
直线与平面平行、平面与平面平行
1、 直线与平面的位置关系:平行、相交、在平面内
2、 直线和平面平行的判定及性质
(1) 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。(简述为线线平行线面平行)
(2) 性质 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么
这条直线就和交线平行。(简述为线面平行线线平行)
3、 两个平面的位置关系:平行、相交 4、 两个平面平行的判定与性质
(1) 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 (2) 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分.叫做这两个平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离
练习
1、 如图,在三棱锥P-ABC中,点Ο、D分别是AC、PC的中点,求证: OD//平面PAB
P
D
A
C
O
B
2、 如图在四棱锥P-ABCD
中,M、N分别是AB,PC的中点,若ABCD是平行四边形,
求证:MN//平面PAD
P
E
N
C
A
B
3、如图,在棱长为a的正方体
ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面A1BD//平面CB1D1
D1
C1
A1
1
D
C
A
4、如图在直三棱柱ABC A1B1C1中,B1C1 A1C1,AC1 A1B,M、N分别是A1B1,AB的中点。求证:平面AMC1//平面NB1C
A1
C1
1
A
C
N
必修二
5、在正方体ABCD A1B1C1D1中,M、N、P分别是CC1、BC、CD的中点。求证:平面MNP//平面AB1D1
D1
C1
A1
M
C
NA
6、在正方形
中,已知正方体的棱长为
,M、N分别在其对角线AD1与DB
上,若AM=BN=x。
(1)求证:MN//平面CDD1C1;
(2)设MN=y,求y=f(x)的表达式; (3)求MN的最小值,并求此时x的值; (4)求AD1与BD所成的角。
立体几何之点线面之间的位置关系(三) 直线与平面垂直、平面与平面垂直
1、线面垂直的定义
如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α垂直,记作l⊥α。
2、线面垂直的判定及性质
(1)判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线就垂直于这个平
面。
(2)性质 垂直于同一平面的两条直线平行。
3、线面角
直线和平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。
特别地,如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角为直角;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角, 4、二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,如图所示,即为一个二面角α—l—β
。二面角的取值范围是
。
5、 面面垂直的判定及性质
(1) 判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。简述
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