第三章 刚体力学

#3－1 一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？ 解：（1）由题可知：阻力矩M C ，

又因为转动定理 M J J

C J

d dt

t

d dt

CJ

d

ln

0

CJ

t

CJ

t

0e

。

当

12

0时，t

t

JCln2

JC

ln2

CJt

（2）角位移 dt

0e

dt

1J 02CJ 04 C

，

所以，此时间内转过的圈数为n

2

。

3－2 质量为M，半径为R的均匀圆柱体放在粗糙的斜面上，斜面倾角为 ，圆柱体的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，且圆柱体和滑轮间的绳子与斜面平行，如本题图所示，求被悬挂物体的加速度及绳中张力

解：由牛顿第二定律和转动定律得

mg T ma

2TR Mgsinα.R Jα

由平行轴定理 J 联立解得 a T

32MR

g

2

m g

8m 4Msinα3M 8m3M 8m

(3 4sinα)M

mg

3－3 一平板质量M1，受水平力F的作用，沿水平面运动，

如本题图所示，板与平面间的摩擦系数为μ，在板上放一质量为M2的实心圆柱体，此圆柱体在板上只滚动而不滑动，求板的加速度。

解：设平板的加速度为a。该平板水平方向受到拉力F、平面施加的摩擦力f1和圆柱

体施加的摩擦力f2，根据牛顿定律有，F f1 f2 M1a。

设圆柱体的质心加速度为aC，则f2 M2aC

遵守转动定理，f2R J

12

M2R

2

习题3－3图

又因为圆柱体无滑滚动 a aC R 且 f1 (M1 M2)g

解以上各方程得 a

F μ(M1 M2)g

M1

13M

2

3－4 质量面密度为 的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为J

12

ab(a b)。其中a，b为矩形板的长，宽。

2

2

证明一：如图，在板上取一质元dm

dJ

dxdy，对与板面

垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为

r

a2

a 2

2

dm

b2b 2

2

2

12

(x y) dxdy

ab(a

2

b)

2

证明二：如图，在板上取一细棒dm bdx，对通过细棒中心与棒垂直的转动轴的转

动惯量为

112

dm b，根据平行轴定理，对与板

2

面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为

dJ

J

112112

dm b dm(

2

a2

x)

2

2

bdx b(

112

3

3

a

2

x)dx 112

dJ

b)

2

ba ba

3

12

ab(a

2

3－5 质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如本题图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间的摩擦力略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳中的张力。

解：分别对两物体做如图的受力分析。根据牛顿定律，有

m1g T1 m1a1 T2 m2g m2a

又因为组合轮的转动惯量是两轮惯量之和，根据转动定理有

T1R T2r (J1 J2)

而且，a1 R ，a2 r ，

a1

m1R m2rJ1 J2 m1R m2r

2

2

gR

a2

m1R m2rJ1 J2 m1R m2r

2

22

gr

T1

J1 J2 m2r m2RrJ1 J2 m1R m2rJ1 J2 m1R

222

2

m1g

T2

m1Rr

2

J1 J2 m1R m2r

m2g

g

3－6 如本题图所示装置，定滑轮的半径为r，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为m1和m2的物体A、B。A置于倾角为θ的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ。若B向下作加速运动时，求：（1）其下落加速度的大小；（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑） 解:A、B物体的受力分析如图。根据牛顿定律有 T1 m1gsin f m1a1

m2g T2 m2a2

2

对滑轮而言，根据转动定律有 T2r T1r J

由于绳子不可伸长、绳与轮之间无滑动，则 a1 a2 r a1 a2

m2g m1gsin m1gcos

m1 m2 Jr

2

2g

a2

T1

m1m2g(1 sin cos ) (sin cos )m1gJr

m1 m2 Jr

2

2

T2

m1m2g(1 sin cos ) m2gJr

m1 m2 Jr

2

2

3－7 如本题图所示，质量为M长为L的均匀直杆可绕过端点o的水平轴转动，一质

量为m的质点以水平速度v与静止杆的下端发生碰撞，如图示，若M=6m，求质点与杆分别作完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞后杆的角速度大小。

解：（1）质点与杆完全弹性碰撞，则能量守恒

12

mv

2

12

J

2

12

mv1

2

又因为角动量守恒 Lmv Lmv J 1 且 J

13

ML，M 6m

2

习题3-7图

2v3L

(2) 完全非弹性碰撞，角动量守恒 Lmv Lmv2 J 又 v2 L

v3L

3－8 一半径为R、质量为m的匀质圆盘，以角速度ω绕其中心轴 …… 此处隐藏：3029字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……