常微分方程试题(3)及解答

常微分方程期终试卷(3)

一 . 解下列方程(10%*8=80%)

1. 2xylnydx+{2x +2y 21y +}dy=0

2.

dx dy =6x

y -x 2y

3. 'y =22)12(-++y x y

4. x 'y =22y x ++y

5. tgydx-ctydy=0

6. {y-x(2x +2y )}dx-xdy=0

7．一质量为m 质点作直线运动，从速度为零的时刻起，

有一个和时间成正比（比例系数为1k ）的力作用在它

上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为2k ）。试求此质点的速度与时间的

关系。

8. 已知f(x)⎰x

dt t f 0)(=1,x ≠0,试求函数f(x)的一般表达式。

二． 证明题(10%*2=20%)

9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M 、N 试

同齐次函数，且xM+yN ≠0,则

)(1yN xM +是该方程的一个积分因子。 10. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用

初等方法求得它的通解。

试题答案

1. 解：M y ∂∂=2xlny+2x , N y ∂∂=2x,则 M N y x M ∂∂-∂∂-=2ln 2ln x y xy y -=-1y

,故方 程有积分因子()y μ=1dy y e

⎰-=1y ，原方程两边同乘以1y 得2ln xy y y

dx+2y

y x

+dy=0是恰当方程. d(2x

dy=0,两边积分得方程的解为2x lny+()321

231y +=C 。

2. 解：1）y=0是方程的特解。2）当y ≠0时，令z=1y -得

dz

dx =6x -z+x. 这是线性方程，解得它的通解为z=2

68

c x x + 代回原来的变量y 得方程解为1y =2

68

c

x x +；y=0.

3. 解：令x=u+3, y=v -2, 可将原方程变为dv

du

=2

2v u v ⎛⎫ ⎪+⎝⎭

，

再令z=v

u

，得到z+dz

u

u

=2

21z z ⎛⎫

⎪+⎝⎭

，即dz

u

u

=(

)()

2

2

11z z

z +-+，

分离变量并两端积分得2121dz z z ⎛⎫

⎰+ ⎪

⎪+⎝⎭

=du u -⎰+lnC 即ln z +2arctgz=ln u -+lnC ，

ln zu =-2arctgz+lnC 代回原变量得v=C 2v

arctg

u

e -

所以，原方程的解为y+2=C 223

y arctg

x e +--.

4. 解：将方程改写为 '

y =

2

1x

y

-+ x y （*） 令u=x y ,得到x 'y =x 'u +

u,则(*)变为x

dx

du

=u -1 , 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln u

+lnC, 故方程的解为arcsin x

y =lnCx 。

5. 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= -ln x cos +C 或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k π(k=0、1…) ，x=t π+2

π

(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当

C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C 。

6. 解：ydx-xdy-x(2x +2y )dx=0,两边同除以2x +2

y 得 22ydx xdy

y x -+-xdx=0,即d(arctg x y )-12d 2x =0,故原方程的解为arctg

x y -122x =C 。

7． 解：因为F=ma=m dv dt

，又F=1F 2F -=12t v k k -， 即m dv dt =12t v k k - (v(0)=0)，即dv dt =12t v k k - (v(0)=0)， 解得v=122m

k k 2t m k e +12k k (t 2m

k -). 8． 解：令f(x)=y ，1()f x =0()x f t dt ⎰，两边求导得()'

1y -=y ， 即'1

y y -=y ，即31

dy y -=dx ，两边求积得21y =2x+C ，

从而

y=

f(x)= . 9. 证明：如M 、N 都是n 次齐次函数，则因为

x x M +y y M =nM ，x x N +y y N =nN ，故有 M

N

y xM yN x xM yN ∂∂-∂+∂+=

2

()()

()y y y xM yN M x N y xM yN N M M +-+++2()()

()x x x xM yN N x M y xM yN N N M +-++-+ =2()()

()x x y M x yN N x y xM yN N N M +-+-+ =2()()

()M nN N nM xM yN --+=0.

故命题成立。

10. 解：1）先找到一个特解y= y 。

2）令y= y +z ，化为n=2的伯努利方程。 证明：因为y= y 为方程的解， 所以 d y dx =P(x)2y +Q(x)

y +R(x) (1) 令y= y +z ，则有 d y

dx +dz dx = P(x)2

()y z + +Q(x)()y z + +R(x)

(2) (2)-(1)得dz dx = P(x)2

(2)yz z + +Q(x)z 即dz dx =[2P(x)

y +Q(x)]z+P(x)2z

此为n=2的伯努利方程。