2018版高考数学(理)一轮复习文档第三章导数及其应用3-1Word版含解析

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1．导数与导函数的概念

(1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →

Δy

Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作()00|x x f x y ''＝或，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy

Δx ＝lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

.

(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)．

3．基本初等函数的导数公式

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4.导数的运算法则

若f ′(x )，g ′(x )存在，则有

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；

(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2

(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

【知识拓展】

1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2.[1f (x )]′＝－f ′(x )[f (x )]2

(f (x )≠0)． 3.[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．

4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × )

(2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( × )

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ )

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )

(5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )

1．(教材改编)若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)等于( )

A ．0

B ．e

C ．2e

D ．e 2

答案 C

解析 f ′(x )＝e x ＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.

2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )

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答案 D

解析 由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.

又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.

3．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12

gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( ) A ．14 m /s 2

B ．4 m/s 2

C ．10 m /s 2

D ．－4 m/s 2 答案 A

解析 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，

a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，

当t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14.

4．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4

)＝ . 答案 － 2

解析 因为f (x )＝f ′(π2

)sin x ＋cos x ， 所以f ′(x )＝f ′(π2

)cos x －sin x ， 所以f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2

， 即f ′(π2

)＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x . f ′(x )＝－cos x －sin x .

故f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2.

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5．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程是 ． 答案 5x ＋y ＋2＝0

解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，

所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.

题型一 导数的计算

例1 求下列函数的导数．

(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x ； (4)y ＝sin(2x ＋π3

)；(5)y ＝ln(2x －5)． 解 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′

＝2x sin x ＋x 2cos x .

(2)y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x

)′ ＝1x －1x 2. (3)y ′＝(cos x e x )′ ＝(cos x )′·e x －cos x (e x )′(e x )2

＝－sin x ＋cos x e x

. (4)设u ＝2x ＋π3

，则y ＝sin u ， 则y ′＝(sin u )′·u ′＝cos(2x ＋π3

)·2 ∴y ′＝2cos(2x ＋π3

)． (5)令u ＝2x －5，则y ＝ln u ，

则y ′＝(ln u )′·u ′＝

12x －5·2＝22x －5， 即y ′＝22x －5.

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思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．

(1)f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0等于( )

A ．e 2

B ．1

C ．ln 2

D ．e

(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )

A ．－1

B ．－2

C ．2

D ．0 答案 (1)B (2)B

解析 (1)f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ×1x

＝2 017＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋ln x 0＝2 017，则ln x 0＝0，解得x 0＝ …… 此处隐藏：7276字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……