第3讲 导数的应用(二)

【2013 年高考会这样考】 1.利用导数求函数的极值. 2.利用导数求函数闭区间上的最值. 3.利用导数解决某些实际问题. 【复习指导】 本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作 用， 会将一些实际问题抽象为数学模型， 从而用导数去解决. 复 习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.

基础梳理 1.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时， ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f(x0)是极大值； ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0 么 f(x0)是极小值. ,右侧f′(x)>0 f′(x)<0

,那么

,那

(2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根； ③检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根左右值的符号.如果左正右 负，那么 f(x)在这个根处取得 极大值 ；如果左负右正，

那么 f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那 么这个根不是极值点.

2.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值

.

(2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b) 为函数的最大值

; 若函数 f(x)在[a, b]上单调递减， f(a) 则

为函数的最大值，f(b)为函数的最小值. (3)设函数 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求 f(x)在[a, b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求 f(x)在(a,b)内的极值； ②将 f(x)的各极值与f(a),f(b) 比较，其中最大的一个是最

大值，最小的一个是最小值.

3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模 型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 f′(x)=0 的点的函数值的大小， 最大 (小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答.

两个注意 (1)注意实际问题中函数定义域的确定. (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只 要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的 函数值比较.

三个防范 (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通 过认真比较才能下结论； 另外注意函数最值是个“整体”概念， 而极值是个“局部”概念. (2)f′(x0)=0 是 y=f(x)在 x=x0 取极值的既不充分也不必要条 件. 如①y=|x|在 x=0 处取得极小值，但在 x=0 处不可导； ②f(x)=x3,f′(0)=0,但 x=0 不是 f(x)=x3 的极值点. (3)若 y=f(x)可导，则 f′(x0)=0 是 f(x)在 x=x0 处取极值的必要 条件.

双基自测 1.(2011· 福建)若 a>0,b>0

,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值，则 ab 的最大值等于( A.2 B.3 C.6 ). D.9

解析 f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数 f(x)在 x=1 处有极值， 可知函数 f(x)在 x=1 处的导数值为零，12-2a-2b=0,所以 a +b=6, 由题意知 a, 都是正实数， b 所以 当且仅当 a=b=3 时取到等号. 答案 D a+b 2 6 2 ab≤ = 2 =9, 2

1 4 4 3 2.已知函数 f(x)=4x -3x +2x2,则 f(x)( A.有极大值，无极小值 C.有极小值，无极大值 解析 f′(x)=x3-4x2+4x=x(x-2)2

).

B.有极大值，有极小值 D.无极小值，无极大值

f′(x),f(x)随 x 变化情况如下 x f′(x) f(x) (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) -  0 0 +  0 4 3 + 

因此有极小值无极大值. 答案 C

3.(2010· 山东)已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产 1 3 量 x(单位：万件)的函数关系式为 y=- x +81x-234,则使该 3 生产厂家获取最大年利润的年产量为( A.13 万件 C.9 万件 解析 ).

B.11 万件 D.7 万件

y′=-x2+81,令 y′=0 解得 x=9(-9 舍去).当 0<x

<9 时，y′>0;当 x>9 时，y′<0,则当 x=9 时，y 取得最 大值，故选 C. 答案 C

4. (2011· 广东)函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小 值. 解析 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2) 当 x<0 时，f′(x)>0,当 0<x<2 时，f′(x)<0,当 x>2 时， f′(x)>0,故当 x=2 时取得极小值. 答案 2

x2+a 5.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值，则 a=________. x+1 解析 ∵f(x)在 x=1 处取极值，∴f′(1)=0, 2x x+1 - x2+a 又 f′(x)= , 2 x+1 2×1× 1+1 - 1+a ∴f′(1)= =0, 1+1 2 即 2×1×(1+1)-(1+a)=0,故 a=3. 答案 3

考向一

函数的极值与导数

【例 1】 (2011· 重庆)设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x), 1 若函数 y=f′(x)的图象关于直线 x=-2对称，且 f′(1)=0. (1)求实数 a,b 的值； (2)求函数 f(x)的极值. 1 [审题视点] 由条件 x=- 为 y=f′(x)图象的对称轴及 f′(1)= 2 0 求得 a,b 的值，再由 f′(x)的符号求其极值.

解

(1)因 f(x)=2x3+ax2+bx+1,

故 f′(x)=6x2+2ax+b. 从而 a 2 a2 f′(x)=6 x+6 +b- 6 ,

a 即 y=f′(x)的图象关于直线 x=-6对称， a 1 从而由题设条件知-6=-2,解得 a=3. 又由于 f′(1)=0,即 6+2a+b=0,解得 b=-12.

(2)由(1)知 f(x)=2x3+3x2-12x+1, f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2). 令 f′(x)=0,即 6(x-1)(x+2)=0, 解得 x1=-2,x2=1. 当 x∈(-∞,-2)时，f′(x)>0, 故 f(x)在(-∞,-2)上为增函数；