§3[1].5_线性方程组有解判别定理

§3.5 线性方程组有解判别定理

在有了向量和矩阵的理论准备之后， 下面给出线性方程 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm

—(3.5.1)

有解的判别定理。 定理7(线性方程组有解的判别定理): 线性方程组(3.5.1)有解的充要条件是它的 系数矩阵A与增广矩阵 A 有相同的秩。第三章 线性方程组

证一： 对线性方程组(3.5.1)的增广矩阵 A 施行 行初等变换与前n列的换法变换得 B a11 a21 A am1 a12 a22 a1n b1 a2 n b2 amn bn 0 c1r 1 c1n

am 2

第三章 线性方程组

1 0 0 1 0 c2 r 1 0 0 1 crr 1 0 0 0 0 0 0 0 0

c1n crn 0 0

d1 d2 dr B d r 1 0

A 的前n列所成的矩阵是A,设 B 的前n列所成

的矩阵为B。1. 若秩A=秩 A ,则由上节定理知，秩B=秩 B 故 dr 1 0. 因此原方程组有解。

2. 若原方程组(3.5.1)有解，则以 B 为增广矩阵的方程组也有解。故 dr 1 0, 于是秩B=秩 B 因此秩A=秩 A 证二：设 1 a11 , a21 , , am1 , 2 a12 , a22 , , am 2 ,

,

n a1n , a2n , , amn , b1, b2 , , bm .

第三章 线性方程组

于是方程组(3.5.1)可表为：x1 1 x2 2 xn n .

—(3.5.2)

必要性：设方程组(3.5.1)有解， 由(3.5.2)知β可由

1 , 2 , , n

线性表示，

因此向量组 1 , 2 , , n 与 1 , 2 , , n , 等价。 由于等价的向量组有相同的秩，

1 , 2 , , n 是A的列向量组， 1 , 2 , , n , 是 A 的列向量组，故秩A=秩 A第三章 线性方程组

充分性：若秩A=秩 A 于是向量组 1 , 2 , , n 与 1, 2 , , n , 有相同的秩，设为r。 不妨设 1 , 2 , , r 是 1, 2 , , n 的一个极大线性无关组。

显然 1, 2 , , r 也是 1, 2 , , n , 的一个极大无关组，β可由 1, 2 , , r 线性表示。由传递性知，β可由 1 , 2 , , n 线性表示，可见方程组(3.5.1)有解。

定理：设线性方程组(3.5.1)的系数矩阵

A和增广矩阵 A 有相同的秩r。第三章 线性方程组

则当r=n(n为方程中未知量个数)时， 方程组有唯一解； 当r<n时，方程组有无穷多解。 证：当秩A=秩 A =r时，

(为方便计，这里假设A的左上角r阶子式不为零)。由定理7知，方程组有解。 这时线性方程组的增广矩阵 A 经行变换可化为

如下阶梯形：

第三章 线性方程组

A

1 0 0 c1r 1 0 1 0 c2 r 1 0 0 1 crr 1 0 0 0 0 0 0 0 0

d1 c1n d 2 crn d r B 0 0 0 0 c1n

因此方程组(3.5.1)与以下方程组同解。 x1 c1r 1 xr 1 c1n xn d1 x c x c x d 2 2 r 1 r 1 2n n 2 xr crr 1 xr 1 crn xn d r 第三章 线性方程组

当r=n时，方程组有唯一解： xi di , i 1, 2, , n.当r<n时，方程组的解为： x1 d1 c1r 1 xr 1 c1n xn x d c x c x 2 2 2 r 1 r 1 2n n xr d r crr 1 xr 1 crn xn

这里 xr 1 , , xn 是自由未知量。故方程组有无穷多解。

第三章 线性方程组

1 2 x1 2 x2 3 x3 x ax 2 x x 2 2 3 4 1 例3.5.1:解线性方程组 2 x1 3x2 3x3 x4 4 x x x x 3 1 2 3 4 7 x1 9 x2 9 x3 5 x4 17

其中a为实常数。 解： 2 1 A 2 1 7 2 3 a 2 3 3 1 1 9 9 1 0 0 1 2 0 a 1 1 4 0 1 1 3 1 1 0 5 17 2 01 1 1 1 2 5 2 1 1 2 1 3 2 4 2

第三章 线性方程组

0 0 0 a 1 0 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0

5 0 4 1 2 2 5 0 0 2

0 0 0 a 1 0 1 0 1 0 0

1

5 0 0 4 0 1 3 0 2 5 0 0 0 29 a a 1 4 a 1 a 9 a 1 7 3a a 1 0

0 0 a 1 0 1 0

0 1 1 0 0 0

5 1 0 4 0 0 0 1 a 1 4 0 1 3 0 0 a 1 0 2 5 0 0 0 0 2

2

0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0

第三章 线性方程组

当a=1时，方程组无解。

当 a 1 时，原方程的解为

9 a x1 a 1 x 4 2 a 1 x a 9 3 a 1 7 3a x4 a 1

例3.5.2:当a、b取何值时，线性方程组 3x1 4 x2 5 x3 5 x4 9 x5 6 3x 2 x x x 3x a 1 2 3 4 5 4 x1 3x2 2 x3 2 x4 2 x5 a 1 5 x1 4 x2 3x3 3x4 x5 b 第三章 线性方程组

无解？有解？ 在有解时求其一般解。 3 3 A 1 5 0 0 1 0 1 0 1 0

4 2 1 42 0 1 0

5 1 1 32 0 1 0

5 9 1 3 1 1 3 1

3 6 0 1 2 2 6 0 1 2 2 6 a 3 a 1

1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 6 b 5 b

6 3 1 0 0 a 1 1 0 0 b 2 0

0 1 1 5 2 1 2 2 6 3 0 0 0 0 a 0 0 0 0 b 2

当 a 0 或 b 2 时，无解；当a=0且b=2时，线性方程组有解。第三章 线性方程组

x1 2 x3 x4 5 x5 解是： , x2 3 2 x3 2 x4 6 x5

x3 , x4 , x5 是自由未知量。

第三章 线性方程组