立体几何学习中的图形观(2)

二、读图

图形中往往包含着深刻的意义，对图形理解的程度影响着我们的正确解题，所以读懂图形是解决问题的重要一环．

例2 如图3，在棱长为a的正方体＜a，若Q是

上的定点，P在

中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝b

上滑动，则四面体PQEF的体积（ ）．

（A)是变量且有最大值 （B）是变量且有最小值 （C）是变量无最大最小值 （D）是常量

分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点．这个图形有很多不确定因素，线段EF的位置不定，点P在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？

仔细观察图形，应该以哪个面为底面？观察，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边

EF是定值，且P到EF的距离也是定值，故它的面积是定值．再发现点Q到面PEF的距离也是定值．因此，四面体PQEF的体积是定值．我们没有一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题．

三、用图

在立体几何的学习中，我们会遇到许多似是而非的结论．要证明它我们一时无法完成，这时我们可考虑通过构造一个特殊的图形来推翻结论，这样的图形就是反例图形．若我们的心中有这样的反例图形，那就可以帮助我们迅速作出判断．

例3 判断下面的命题是否正确：底面是正三角形且相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱锥．

分析：这是一个学生很容易判断错误的问题．大家认为该命题正确，其实是错误的，但大家一时举不出例子来加以说明．问题的关键是二面角相等很难处理．我们是否可以考虑用一个正三棱锥通过变形得到？

如图4，设正三棱锥的侧面等腰三角形PAB的顶角是，底角是，作的平

分线，交PA于E，连接EC．可以证明正三角形，从而

是等腰三角形，所以AB＝BE．同理EC＝AB．那么，△EBC是

就是满足题设的三棱锥，但不是正三棱锥．