习题解答

4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为

U0，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位 (x,y)满足的边界条件为

y ) a(y, ) 0① (0,) 0② (x,0

③

(x,b) U0

根据条件①和②，电位 (x,y)的通解应取为

(x,y) Ansinh(

n 1

n yn x

)sin()aa

由条件③，有

题4.1图

U0 Ansinh(

a

n 1

n bn x)sin()aa

sin(

两边同乘以

n x)

a，并从0到a对x积分，得到

a

2U0n x

An sin()dx

asinh(n a) a0

4U0

,n 1,3,5,

n sinh(n ba)2U0

(1 cosn )

n

2,4,6,n sinh(n a) 0，

(x,y)

故得到槽内的电位分布

4U0

1

,sinh n 1,3,5nn (an y

si)a

nx

(a

)

4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y d到y b( x )。上板和薄片保持电位

U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y 0到

y d，电位线性变化， (0,y) U0yd。

解 应用叠加原理，设板间的电位为

(x,y) 1(x,y) 2(x,y)

其中，

题 4.2图

1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为

U0）的电位，即 1(x,y) U0yb； 2(x,y)是两个电位为零

的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ①

2(x,0) 2(x,b) 0

②

2(x,y) 0 )

U0

U y 0b

2(0,y) (0,y) 1(0,y)

U0y U0y b d③

(0 y d)(d y b)

xn y nb

2(x,y) Ansin()e

(x,y)的通解为 bn 1根据条件①和②，可设2

U0

U y

n y 0bAnsin() bn 1 U0y U0y

b d由条件③有

sin(

两边同乘以

d

(0 y d)(d y b)

n y

)

b，并从0到b对y积分，得到

b

2U2Uyn y11n yAn 0 (1 )sin()dy 0 ( )ysin()dy 2U02bsin(n d)

b0bbbddbb(n )db

xU02bU0 1n dn y nb

y sin()sin()e2 2

(x,y) bd bbn 1n故得到

4.3 求在上题的解中，除开定出边缘电容。

U0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按

Cf

2We

U02

解 在导体板（y 0）上，相应于

2(x,y)的电荷面密度

2 02

y

y 0

x2 0U0 1n d nb

sin()e dn 1nb

则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷

x2 0U0n d nb4 Ub00q2 2dx 2 2dx 2 sin()edx 2 12sin(n d)

n db dn 1nb0n 1 0

2

2 0bU011n d

We q2U0 sin() 22

2 dn 1nb 相应的电场储能为

2We4 0b 1n d

Cf 2 2 2sin()

U0 dn 1nb

其边缘电容为

4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位

U0，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。

解 根据题意，电位 (x,y)满足的边界条件为

y ) a(y, ) 0① (0,

0(y )② (x,y)

③

(x,0 )U0

根据条件①和②，电位 (x,y)的通解应取为

a题4.4图

(x,y) Ane n ysin(

n 1

n x

)a

n x

)a

由条件③，有

U0 Ansin(

n 1

sin(

两边同乘以

n x

)

a，并从0到a对x积分，得到

4U0

, a

2U0n x n 2U0

An sin()dx (1 cosn ) a a 0，n 0

n 1,3,5,n

2,4,6,

a

(x,y)

故得到槽内的电位分布为

4U0

1 n

,e n 1,3,5n

n xsi)a

4.5 一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为

y(y b)sin(

x

a

)sin(

z

c

)

的电荷。求体积内的电位 。 解 在体积内，电位 满足泊松方程

2 2 2 1 x z

y(y b)sin()sin() x2 y2 z2 0ac （1）

长方体表面S上，电位 满足边界条件

S 0

。由此设电位 的通解为

(x,y,z)

1

0

Amnpsin(

m 1n 1p 1

m xn yp z

)sin()sin()abc

代入泊松方程（1），可得

Amnp[(

m 1n 1p 1

m 2n 2p

) () ()2] abc

sin(

m xn yp z x z)sin()sin() y(y b)sin()sin()abcac

(m 1或p 1)

由此可得

Amnp 0

2n 2 2n yA[() () ()]sin() 1n1

abcby(y b) （2） p 1

由式（2），可得

n 2n y

A1n1[() ()2 ()2] y(y b)sin()dy 4(b)3(cosn 1)

abcb0bbn

2

b

8b2

3 (n ) 0

n 1,3,5,n

2,4,6,

8b2

(x,y,z)

故

1 xn y z

sin()sin()sin() 5

1n1 0n 1,3,5nabc,3

[()2 ()2 ()]2abc

4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷

ql，

其位置为

(0,d)。求板间的电位函数。

解 由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷个区域，则这两个区域中的电位上，可利用 函数将线电荷ql，以x 0为界将场空间分割为x 0和x 0两

1(x,y)和 2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x 0的分界面

ql表示成电荷面密度 (y) ql (y y0)。

电位的边界条件为

①

1(x,0)= 1(x,a) 0

2(x,0)= 2(x,a) 0

)②

1(x,y) 0(x

题 4.6

图

2(x,y) 0(x )

③

1(0,y) 2(0,y)

(

2ql

x 1

x

)x 0

(y d)

由条件①和②，可设电位函数的通解为

1(x,y) A n an y

nesin(

n 1a)

(x 0)

n y

2(x,y) B xanensin(

n 1

a)

(x 0)

由条件③，有

An yB

n y

nsin() n

sin(

n 1

a n 1

a)

An n y

n nsin(n 1

aa)

Bn

n 1

asin(n y

qa) l (y d) 0

由式（1），可得

An Bn （3）

sin(

m y

将式（2）两边同乘以

a)

，并从0到a对y积分，有

1） （2）

（

An Bn

2qln 0

a0

(y d)sin(

2qln yn d)dy sin()an 0a （4） n d

)a

由式（3）和（4）解得

An Bn

qln 0

sin(

1(x,y)

故

1n d n an ysin()esin() 0n 1naa (x 0) ql

q

l

2(x,y)

1 nsin(n dn xan y

a)esin(a)0n 1 (x 0) 4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷

ql。求槽内的电位函数。

解 由于在

(x0,y0)处有一与z轴平行的线电荷ql，以

x x0为界将

场空间分割为

0 x x0和x0 x a两个区域，则这两个区(x0,y0)

域中的电位 1

(x,y)和 2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x x0的

分界面上，可利用 函数将线电荷ql表示成电荷面密度

(y) ql (y y0)，电位的边界条件为

① 1(0,y=)，0 2(a,y) 0

② 1(x,0)= 1(x,b) 0 2(x,0)= 2(x,b) 0

③

1(x0,y) 2(x0,y )

(

2 x 1

x

)x x0

ql

(y y0)

由条件①和②，可设电位函数的通解为

1(x,y) Ansin(

n yn x

n 1

b)sinh(b) (0 x x0)

题4.7图

B

(x,y)

2

n 1

nsin(

n yn

)sinh[(a x)]

(x x a) bb 0

由条件③，有

n x0n yn yn

Asin()sinh() Bsin()sinh[(a x0)] nn

bbbbn 1n 1 （1）

An

n 1

n x0n n ysin()cosh() bbb

qln n yn

(y y0)Bnsin()cosh[(a x0)] 0bbbn 1 （2）

由式（1），可得

Ansinh(

n x0n

) Bnsinh[(a x0)] 0bb （3）

sin(

将式（2）两边同乘以

m y

)

b，并从0到b对y积分，有

2qln x0n An) Bn(a x0)]

n 0bb2qln y0

sin()n 0b （4）

由式（3）和（4）解得

b0

(y y0)sin(

n y

)dy b

An

2qln y01n

sinh[(a x0)]sin()

sinh(n ab)n 0bb

Bn

2qln x0n y01

sinh()sin()

sinh(n ab)n 0bb

1(x,y)

故

1n

sinh[(a x0)] 0n 1nsinh(n ab)b 2ql

sin(

n y0n xn y

)sinh()sin()bbb (0 x x0)

2(x,y)

n x01

sinh() 0n 1nsinh(n a)b 2ql

sin(

若以

n y0n n y

)sinh[(a x)]sin()bbb (x0 x a)

y y0为界将场空间分割为0 y y0和y0 y b两个区域，则可类似地得到

1(x,y)

sin(

1n

sinh[(b y0)] 0n 1nsinh(n ba)a 2ql

n x0n yn x

)sinh()sin()aaa (0 y y0)

2(x,y)

sin(

n y01

sinh() 0n 1nsinh(n ba)a 2ql

n x0n n x

)sinh[(b y)]sin()aaa (y0 y b)

4.8 如题4.8图所示，在均匀电场

E0 exE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱

的半径为a。求导体圆柱外的电位 和电场E以及导体表面的感应电荷密度 。 解 在外电场电荷的电位

E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位 0与感应

in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，

外电场的电位为荷的电位

0(r, ) E0x C E0rcos C（常数C的值由参考点确定）

，而感应电

in(r, )应与 0(r, )一样按cos 变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，

所以 (r, )满足的边界条件为

) C ① (a,

②

(r, ) Es C0rco

r( )

E0

1 (r, ) Ercos Arcos C 01由此可设

1

Eacos Aacos C C 01由条件①，有

题4.8图

2A aE0 1于是得到

故圆柱外的电位为

(r, ) ( r a2r 1)E0cos

C

若选择导体圆柱表面为电位参考点，即 (a, ) 0，则C 0。 导体圆柱外的电场则为

22 1 aaE (r, ) er e er(1 )E0cos e ( 1 )E0sin

rr r2r2

导体圆柱表面的电荷面密度为

0

(r, E0co sr a 2 0

r

4.9 在介电常数为 的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场解 在电场电场

E0 exE0，求空腔内和空腔外的电位函数。

E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加

E0与极化电荷的电场Ep的叠加。外电场的电位为 0(r, ) E0x E0rcos 而感应电

荷的电位

in(r, )应与 0(r, )一样按cos 变化，则空腔内、外的电位分别为 1(r, )和

2(r, )的边界条件为

①

r 时， 2(r, ) E0rcos ；

(r, )为有限值；

② r 0时，1

r a时， 1(a, ) 2(a, )，

0

1

2 r r

③

由条件①和②，可设

1(r, ) E0rcos Ar1cos (r a) 2(r, ) E0rcos A2r 1cos (r a)

1 2

Aa Aa E A E aA2 2010带入条件③，有 1，00

A1

由此解得

0 02

E0A2 aE0

0， 0

2

Ercos 00(r a)

1(r, )

所以

2(r, ) [1

0a2

()]E0rcos 0r (r a)

4.10 一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.10图所示。

第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象

限分别保持电位

U0和 U0。求圆柱面内部的电位函数。

解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为

① (0, )为有限值；

题4.10图

②

由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为

U0 0

(b, )

U0 0

0 2

2

3 23 2 2

；

(r, ) rn(Ansinn Bncosn )

n 1

(r b)

代入条件②，有 由此得到

b(A

nn 1

n

sin Bn

cno s )b (,)

1

An n

b

2

(b, )sinn d

1b

n

23 2

[ U0sinn d

U0sinn d ] U0(1 cosn )

bnn

2U0

,n 1,3,5, n

n b 0，n

2,4,6,

1Bn n

b

2

(b, )cosn d b [ U

n

1

0

3 cosn d

U

cosn d ]

n 3

2U0

, ( 1)2

nn b U0n 3n

(sin sin) 0，

bnn 22

n 1,3,5,n

2,4,6,

(r, )

故

2U0

n 1,3,5,

n 3

1rn

()[sinn ( 1)2cosn ]nb (r

b)

4.11 如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为 ，在距离轴线有一与圆柱平行的线电荷解 在线电荷

r0(r0 a)处，

ql，计算空间各部分的电位。

ql作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位 (r, )均为线电荷ql的电位

l(r, )与极化电荷的电位 p(r, )的叠加，即 (r, ) l(r, ) p(r, )。线电荷ql的电位

l(r, )

为

ql2 0

lnR

ql2 0

（1）

而极化电荷的电位

p(r, )

满足拉普拉斯方程，且是 的偶函数。

介质圆柱内外的电位

1(r, )和 2(r, )满足的边界条件为分别为

① ②

1(0 ,为有限值；)

题4.11图

2(r, ) (, )r ( )lr

1 2,

1

02 r r

③ r a时，

由条件①和②可知，

1(r, )和 2(r, )的通解为

1(r, ) l(r, ) Anrncosn

n 1

(0 r a) （2）

2(r, ) l(r, ) Bnr ncosn

n 1

(a r ) （3）

将式（1）～（3）带入条件③，可得到

Aa

nn 1

n

cosn Bna ncosn

n 1

（4）

(An nan 1 Bn 0na n 1)cosn ( 0)

n 1

ql lnR

2 0 r

r a

（5）

n

当

r r0时，将lnR展开为级数，有

lnR lnr0

1r

n 1nr0

)cn os

（6）

带入式（5），得

(An na

n 1

n 1

Bn 0na

n 1

( 0)ql

)cosn

2 0r0

an 1()cosn rn 10 （7）

n n

Aa Bann由式（4）和（7），有

An nan 1 Bn 0na n 1

( 0)qlan 1

()

2 0r0r0

ql( 0)1ql( 0)a2n

An Bn nn

2 ( )nr2 ( )nr000000由此解得 ，

故得到圆柱内、外的电位分别为

ql( 0) 1rn

1(r, ) ()cosn

2 02 0( 0)n 1nr0

（8）

ql

ql( 0) 1a2n

2(r, ) ln ()cosn 2 02 0( 0)n 1nr0r （9）

ql

讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为

ql( 0) 1rnql( 0) ()cosn (lnR lnr0) 2 0( 0)n 1nr02 0( 0) ql( 0) 1a2nql( 0) ()cosn (lnR lnr) 2 0( 0)n 1nr0r2 0( 0)

其中

R 。因此可将

1(r, )和 2(r, )分别写成为

1(r, )

2 0qlq( 0)

lnR llnr0

2 0 02 0( 0) 1ql2 0

lnR

1 ( 0)ql1( 0)ql

lnR lnr

2 0 02 0 0

2(r, )

2 0

ql

r, 0 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（00）的线电荷的电位相同，而介质圆

a2

(,0)

r,qr柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（00）的线电荷l；位于0的

0 0

qlql

00线电荷；位于r 0的线电荷。

4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。

解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位 (r, )均为线电荷电荷的电位

ql的电位 l(r, )与感应

in(r, )的叠加，即 (r, ) l(r, ) in(r, )。线电荷ql的电位为

ql2 0

lnR

ql2 0

（1）

l(r, )

而感应电荷的电位

in(r, )满足拉普拉斯方程，且是 的偶函数。

(r, )满足的边界条件为

① (r, ) lr( ,(r) )；

②

(a, ) C。

由于电位分布是 的偶函数，并由条件①可知， (r, )的通解为

(r, ) l(r, ) Annr cosn

n 0

（2）将式（1）和（2）带入条件②，可得到

Aa

n

n

cosn C

qln 0

2 0

将

lnr1a

0 (r)ncosn

n 1n0 带入式（3），得

A n

q

l

nacosn C

[lnr1a

nn 0

20 ()cosn ]0n 1nr0 A C ql

ql

由此可得 2 lnrAa2n

00n 0，

2 0n(r)

0 故导体圆柱外的电为

(r, )

ql2 0

3）

（4）

（5）

（

1a2n

(C lnr0) ()cosn

2 02 0n 1nr0r （6）

ql

ql

讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为

ql1a2n ()cosn (lnR lnr) 2 0n 1nr0r2 0

ql

其中

R 。因此可将 (r, )写成为

(r, )

ql2 0

lnR

ql2 0

lnR

ql2 0

lnr C

ql2 0

lnr0

由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（

r0,0）q的线电荷l；

a2

(,0)

qqr位于0的线电荷l；位于r 0的线电荷l。

4.13 在均匀外电场

E0 ezE0中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至U0；

（2）导体上

充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。 解 （1）这里导体充电至时导体球面上的电荷密度在

U0应理解为未加外电场E0时导体球相对于无限远处的电位为U0，此

0U0a，q 4 0aU0。E总电荷将导体球放入均匀外电场0中后，

E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体

球仍为等位体。 设

(r, ) 0(r, ) in(r, )，其中

0(r, ) E0z E0rcos

是均匀外电场

E0的电位， in(r, )是导体球上的电荷产生的电位。

电位 (r, )满足的边界条件为 ①

r 时， (r, ) E0rcos ；

② r a时，

(a, ) C0，

0

S

dS q r

其中

C0为常数，若适当选择 (r, )的参考点，可使C0 U0。

2 1

(r, ) Ercos Arcos Br C1 011由条件①，可设

3

A aE0，B1 aU0，C1 C0 U0 1代入条件②，可得到

3 2 1

C U (r, ) Ercos aErcos aUr00000若使，可得到

（2）导体上充电荷Q时，令

Q 4 0aU0，有

U0

Q4 0a

Q4 0r

(r, ) E0rcos a3E0r 2cos

利用（1）的结果，得到

4.14 如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场

E0 ezE0，在介质中有一个半径为

a的球形空腔。求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为 ）。

解 在电场电场

E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加

E0与极化电荷的电场Ep的叠加。设空腔内、外的电位分别为 1(r, )和 2(r, )，则边界

条件为 ①

r 时， 2(r, ) E0rcos ；

(r, )为有限值； ② r 0时，1

r a时， 1(a, ) 2(a, )，

0

1

2 r r

③

由条件①和②，可设

1(r, ) E0rcos Ar1cos 2(r, ) E0rcos A2r 2cos

带入条件③，有

3

A1a A2a 2， 0E0 0A1 E0 2 aA2

0 03

A1 E0A2 aE0

2 2 00由此解得 ，

题4.14图

1(r, )

所以

3

E0rcos 2 0

2(r, ) [1

0a3

()]E0rcos 2 0r

3

E0

2 0

E0

( 0)E0a3

([er2cos e sin ]

2 0r

空腔内、外的电场为

E1 1(r, )

E2 2(r, )

空腔表面的极化电荷面密度为

p n P2

r a

( 0)er E2

r a

3 0( 0)

E0cos

2 0

4.15 如题4.15图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为r1和r2，球的中心放置一个电偶极子

p，球壳上的电荷量为Q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。

解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子

p在球壳内表面上引起感应电荷分布，但

内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为Q，且均匀分布在外表面上。 球壳外的场可由高斯定理求得为

E2(r) er

Q4 0r2

2(r)

Q4 0r

2

外表面上的电荷面密度为 设球内的电位为

Q4 r22

，其中

1(r, ) p(r, ) in(r, )

题 4.15图

p(r, )

是电偶极子

pcos p

P(cos )221

4 0r4 0r

p的电位， in(r, )是球壳内表面上的感应电荷的电位。