电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答
时间：2025-04-02
习题解答
4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为
U0，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位 (x,y)满足的边界条件为
y ) a(y, ) 0① (0,) 0② (x,0
③
(x,b) U0
根据条件①和②，电位 (x,y)的通解应取为
(x,y) Ansinh(
n 1
n yn x
)sin()aa
由条件③，有
题4.1图
U0 Ansinh(
a
n 1
n bn x)sin()aa
sin(
两边同乘以
n x)
a，并从0到a对x积分，得到
a
2U0n x
An sin()dx
asinh(n a) a0
4U0
,n 1,3,5,
n sinh(n ba)2U0
(1 cosn )
n
2,4,6,n sinh(n a) 0，
(x,y)
故得到槽内的电位分布
4U0
1
,sinh n 1,3,5nn (an y
si)a
nx
(a
)
4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y d到y b( x )。上板和薄片保持电位
U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y 0到
y d，电位线性变化， (0,y) U0yd。
解 应用叠加原理，设板间的电位为
(x,y) 1(x,y) 2(x,y)
其中，
题 4.2图
1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为
U0）的电位，即 1(x,y) U0yb； 2(x,y)是两个电位为零
的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ①
2(x,0) 2(x,b) 0
②
2(x,y) 0 )
U0
U y 0b
2(0,y) (0,y) 1(0,y)
U0y U0y b d③
(0 y d)(d y b)
xn y nb
2(x,y) Ansin()e
(x,y)的通解为 bn 1根据条件①和②，可设2
U0
U y
n y 0bAnsin() bn 1 U0y U0y
b d由条件③有
sin(
两边同乘以
d
(0 y d)(d y b)
n y
)
b，并从0到b对y积分，得到
b
2U2Uyn y11n yAn 0 (1 )sin()dy 0 ( )ysin()dy 2U02bsin(n d)
b0bbbddbb(n )db
xU02bU0 1n dn y nb
y sin()sin()e2 2
(x,y) bd bbn 1n故得到
4.3 求在上题的解中，除开定出边缘电容。
U0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按
Cf
2We
U02
解 在导体板（y 0）上，相应于
2(x,y)的电荷面密度
2 02
y
y 0
x2 0U0 1n d nb
sin()e dn 1nb
则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷
x2 0U0n d nb4 Ub00q2 2dx 2 2dx 2 sin()edx 2 12sin(n d)
n db dn 1nb0n 1 0
2
2 0bU011n d
We q2U0 sin() 22
2 dn 1nb 相应的电场储能为
2We4 0b 1n d
Cf 2 2 2sin()
U0 dn 1nb
其边缘电容为
4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位
U0，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
解 根据题意，电位 (x,y)满足的边界条件为
y ) a(y, ) 0① (0,
0(y )② (x,y)
③
(x,0 )U0
根据条件①和②，电位 (x,y)的通解应取为
a题4.4图
(x,y) Ane n ysin(
n 1
n x
)a
n x
)a
由条件③，有
U0 Ansin(
n 1
sin(
两边同乘以
n x
)
a，并从0到a对x积分，得到
4U0
, a
2U0n x n 2U0
An sin()dx (1 cosn ) a a 0，n 0
n 1,3,5,n
2,4,6,
a
(x,y)
故得到槽内的电位分布为
4U0
1 n
,e n 1,3,5n
n xsi)a
4.5 一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为
y(y b)sin(
x
a
)sin(
z
c
)
的电荷。求体积内的电位 。 解 在体积内，电位 满足泊松方程
2 2 2 1 x z
y(y b)sin()sin() x2 y2 z2 0ac （1）
长方体表面S上，电位 满足边界条件
S 0
。由此设电位 的通解为
(x,y,z)
1
0
Amnpsin(
m 1n 1p 1
m xn yp z
)sin()sin()abc
代入泊松方程（1），可得
Amnp[(
m 1n 1p 1
m 2n 2p
) () ()2] abc
sin(
m xn yp z x z)sin()sin() y(y b)sin()sin()abcac
(m 1或p 1)
由此可得
Amnp 0
2n 2 2n yA[() () ()]sin() 1n1
abcby(y b) （2） p 1
由式（2），可得
n 2n y
A1n1[() ()2 ()2] y(y b)sin()dy 4(b)3(cosn 1)
abcb0bbn
2
b
8b2
3 (n ) 0
n 1,3,5,n
2,4,6,
8b2
(x,y,z)
故
1 xn y z
sin()sin()sin() 5
1n1 0n 1,3,5nabc,3
[()2 ()2 ()]2abc
4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷
ql，
其位置为
(0,d)。求板间的电位函数。
解 由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷个区域，则这两个区域中的电位上，可利用 函数将线电荷ql，以x 0为界将场空间分割为x 0和x 0两
1(x,y)和 2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x 0的分界面
ql表示成电荷面密度 (y) ql (y y0)。
电位的边界条件为
①
1(x,0)= 1(x,a) 0
2(x,0)= 2(x,a) 0
)②
1(x,y) 0(x
题 4.6
图
2(x,y) 0(x )
③
1(0,y) 2(0,y)
(
2ql
x 1
x
)x 0
(y d)
由条件①和②，可设电位函数的通解为
1(x,y) A n an y
nesin(
n 1a)
(x 0)
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