高中数学选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法(3)

3.2立体几何中的向量方法(三)-----利用向量解决空间的角问题

空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法，解题 时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。

空间三种角的向量求解方法1.两条异面直线所成的角(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线 a ′∥a, b ′∥b,则a ′, b ′所夹的锐角或直角叫a与b所 成的角. (2)范围: (0, ] 2 (3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 a, b ,其夹角 为

(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的 方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时, 应取其补角作为两异面直线所成的角.

|a b| ,则有 cos | cos | |a | |b|

2.直线与平面所成的角

(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.(2)范围: [0,

(3)向量求法:设直线l的方向向量为 a ,平面的法 向量为 u ,直线与平面所成的角为 , a 与 u 的2夹角为 ,则有 |a u| cos | cos | 或 cos sin |a | | u|

]

n1

3.二面角

C

BA

(1)范围: [0, ](2)二面角的向量求法:

n2

D

ll

图(2)

①若AB、CD分别是二面角 l 的两个 面内与棱l垂直的异面直线 ,则二面角的大 小就是向量 AB 与 CD的夹角(如图(1))

图(1)

, l ②设 n1 , n2是二面角 的两个面 的法向量,则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)

就是二面角的平面角的大小(如图(2))

例1: Rt ABC中， BCA 900 , 现将 ABC沿着

平面ABC的法向量平移到 A1B1C1位置，已知求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1F1

取A1B1、AC 的中点D1、F1, BC CA CC1, 1 1

B1D1

A1A

C

B

解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C xyz z 如图所示，设 CC1 1 则： C

A(1, 0, 0), B (0,1, 0),

1 1 1 F1 ( , 0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2 1 所以： AF1 ( , 0,1), 2

F1

1

B1

A1A

C

D1

B y

1 1 AF1 BD1 cos AF1, BD1 4 30 10 5 3 | AF1 || BD1 | 4 2

1 1 BD1 ( , ,1) 2 2

x

30 所以 BD1 与 AF1 所成角的余弦值为 10

练习： 在长方体 ABCD A AB= 5,AD 8, 1B 1C1D 1 中，

AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，A1D AN. (1)求证：A1D AM . (2)求AD与平面ANM 所成的角. A1B1 MA(0,0,0), A1 (0,0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4)

z

N

D1

C1D

AM (5, 2, 4), A1D (0,8, 4), AM A1D =0 A1D AM .

A B

y

x

C

例2: 在长方体 ABCD A AB= 5,AD 8, 1B 1C1D 1 中，

AA1 4, M为BC1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，A1D AN. (1)求证：A1D AM . (2)求AD与平面ANM 所成的角.A1

zN

D1

AD (0,8,0), A1D (0,8, 4),

A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8,0),

B1 M AB

C1D

y

2 5 cos AD, A1D 5

x

C

AD与平面ANM 所成角的正弦值是

2 5 5

练习： 正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 的棱长为1.求B1C1与面AB1C所成的角的余弦.A1

以AB所在直线为x轴,AD所 B1 在直线为y轴,AA1所在直线 为z轴.易求平面 AB1C 的一个 A 法向量 n (1, 1, 1), 及B1C1 (0,1,0)

D1

C1D

故得B1C1与面AB1C所成得角得余弦为3 3

B

C

例3 如图所示，ABCD是一直角梯形， ABC=900 , 1 SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD , 求面SCD 2 与面SBA所成二面角的余弦值.

SBA D

C

例3 如所示， A B C D 是一直角梯形， A B C = 90 , 1 SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD , 求面SCD 2 z 与面SBA所成二面角的余弦值.0

S

解： 建立空间直角坐系A-xyz如所示,1 - 1, 1, 0) , D (0, , 0), S (0, 0,1) A( 0, 0, 0) , C( 2A

BD

C

x1 易知面SBA的法向量n1 AD (0, , 0) 2 1 1 CD (1, , 0), SD (0, , 1) 2 2

y

y x 2 任取n2 (1,2,1) z y 2 n1 n2 6 6 cos n1 , n2 即所求二面角得余弦值是 3 | n1 || n2 | 3

设平面SCD的法向量n2 ( x, y, z), 由n2 CD, n2 SD, 得：y x 0 2 y z 0 2

例4:如图3,甲站在水库底面上的点A处，乙站在水 坝斜面上的点B处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线) 的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。 求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图， AC a , BD b , CD c , AB d . 化为向量问题 根据向量的加法法则 AB AC CD DB 进行向量运算 C B D

d AB ( AC CD DB )22 2 2

2

2

A图3

AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB )

a c b 2 AC DB2 2 2

a c b 2CA DB2 2 2

于是，得

2CA DB a 2 b2 c 2 d 2

就是库底与水坝所成的 设向量 CA 与 DB 的夹角为 , 二面角。

因此

2abcos a 2 b2 c 2 d 2 .

2 2 2 2 a b c d 所以 cos . 2ab

回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为a 2 b2 c 2 d 2 . 2ab

例4:如图3,甲站在水库底面上的点A处，乙站在水 坝斜面上的点B处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线) 的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c , AB的长为 d 。 求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考： (1)本题中如果夹角 …… 此处隐藏：962字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……