第6章%20矩阵特征值数值计算

第六章矩阵特征值数值计算

目录 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5引言幂法及反幂法 Householder方法 QR方法数值实验及程序

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6.1引言矩阵特征值是有广泛应用背景的问题，本章研究n阶实矩阵A的特征值与特征向量的求解方法。 基本概念定义1:已知A aij n n

,满足关系式Ax x( x 0)的值 称为

A的特征值,x为相应的特征向量。定义2:已知A aij

,则称 a11 a12n n

a1n a2 n

det I A

a21 an1

a22 an 2

ann

n a11 a22 ann n 1 ( 1) n A为矩阵A的特征多项式东北林业大学理学院。3

特征值和特征向量——基本定理定理1设 为A Rn n的特征值，即Ax x,其中x 0,则

(1) k为Ak的特征值; (2)设A为可逆阵，则 0且为A的特征值，即A x 1 1

1

1

x.

定理2设 i i 1, 2, , n 为n阶矩阵A的特征值，则

(1) i aii tr A ; (2) A 1 2 n . det定理3i 1 i 1

n

n

设 为n阶矩阵A的特征值，则 也为AT的特征值.东北林业大学理学院 4

特征值和特征向量——基本定理定理4 (1)A Rn n可对角化 A有n个线性无关的特征向量。

(2)矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关。定理5设A与B相似，即存在可逆阵P使得B P 1 AP,则

(1) A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值; (2)若y是B的特征向量，则Py是A的特征向量。定理6 A Rn n为对称阵，则

(1) A的特征值为实数； (2)A有n个线性无关的特征向量； (3)A的属于不同特征值的特征向量正交； (4)A可正交相似对角阵。东北林业大学理学院 5

定义3:设A aij n n,令：

Gerschgorin圆盘定理n

(1) ri aij (i 1, 2 , n);j 1 j i

(2)集合Di z z aii ri, z C,称复平面上以aii为心，以ri为半径的所有圆盘为A的 Gerschorin圆盘。定理7 Gerschgorin圆盘定理 (1)设A aij ,则A的每个特征值必属于下述某个圆盘之中n n

aij ri aijj 1 j i

n

(i 1, 2, , n);

(2)如果A的m个圆盘组成一个连通的并集S,且S与余下n m个圆盘是分离的，则S内恰好包含A的m个特征值。东北林业大学理学院 6

0.1 0.2 1 0.5 3 0.1 例2.估计矩阵A 1 0.3 1 0.2 0.3 0.1解： A的4个圆盘为D1: 1 0.6 D3: 1 1.8

0.3 0.2 的特征值的范围。 0.5 4

D2: 3 0.8 D4:| 4| 0.6

由圆盘定理，可知A的4个特征值位于4个圆盘

的并集中，所以 2.2 2 3.8, 4.6 4 3.4,

1, 3包含在D1, D3的并集中。东北林业大学理学院 7

Schur定理、实Schur分解定理8 (Schur定理)

r11 r12 r22 n n H 设A R,则存在酉矩阵U使 U AU 其中：R为上三角阵，rii (i 1, 2, , n)为A的特征值。

r1n r2 n R rnn

R11 R12 R1m R22 R2 m 设A R n n,则存在正交矩阵Q使 Q 1 AQ Rmm 其中：Rii (i 1, 2, , m)为一阶或二阶方阵，且每个一阶Rii是A的定理9 (实Schur分解)

特征值,且每个二阶对角块Rii的两个特征值是A的共轭复特征值。东北林业大学理学院 8

Rayleigh商定义4:设A为n阶实对称阵，对于任意一个非零向量x,则称

Ax, x 为对应向量x的 Rayleigh商。 R x x, x 定理10设A Rn n为对称阵(其特征值次序 1 2 n ),则

Ax, x (对任意非零向量x R n ); (1) n x, x 1 Ax, x ; (2) 1 max x R x, x x 0 Ax, x 。 (3) n min x R x, x x 0n n

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6.2幂法及反幂法 基本问题：幂法是求矩阵按模最大的特征值及相应的特征向量，反幂法是求矩阵按模最小的特征值及相应的特征向量。

幂法基本思想：设A aij n n

,特征值 1 2 3 n,相应的

特征向量为x1, x2, , xn,任取非零初始向量 v0 1 x1 2 x2 n xn(设 1 0),构造迭代序列 k 1 A k Ak 1 0,于是有

k A k 1 Ak 0 1 1k x1 2 2k x2 n nk xn [ 1 x1 i i/ 1 xi] 1 x1 k ,k 1 k i 2 k 1东北林业大学理学院 10

n

其中： k i i/ 1 xi,由已知 i/ 1 1 i 2,3, , n ,故k i 2

n

lim k 0,于是k

k lim k 1 x1, k 1用 k i表示 k的第i个分量，则从而 k 1 1k x1,即迭代向量 k为 1的特征向量的近似向量。 1 x1 i k 1 i k 1 i 1 , k i 1 x1 i k i k 1 i lim 1, k k i东北林业大学理学院 11

故

即两相邻迭代向量分量的比值收敛到 1

k特征值,则对于任意非零向量 1 0 ,有 lim k 1 x1及 k 1

n n定理11 A R有n个线性无关的特征向量, 1 2 n为

幂法—基本定理

定理12 A R有n个线性无关的特征向量,

1 2 n为特征值,则按如下方法构造向量序列 k , k

k 1 i lim 1成立。 k k i n n

0 k uk u k则有： (1) lim un

u0 0, Auk 1, k/ uk . x1 max k , 2 k 1,,

k max x东北林业大学理学院 1

;

(2) lim uk 1.12

1 3 2 例3.用幂法计算矩阵A 4 4 1 的主特征值及相应特征向量。 6 3 5 解：取初始向量Y 0 (1,1,1)T,计算过程如下表：

k0

(规范化向量)

max(vk )14

k8

(规范化向量)

max(vk )6.962 8

1 0.000 0 0.076 9 0.272 7

1 1 0.500 0 1

0.294 4 0.301 3

0.065 5 1 0.063 1 1

1 2 3 4 5 6 7

6.500 0 0.153 8 1 5.923 0 0.013 0 1 6.597 2 (0.350 4 0.005 9 1) 6.419 3 0.363 4 0.066 2 1 7.379 3 0.293 7 0.097 5 1 7.051 5 0.283 7 0.080 0 1 6.942 2

9 10 11 12 13 14

(0.301 8 0.065 4 1) (0.300 5 0.066 9 1)(0.299 8 0.067 1 1)

(0.299 8 0.066 8 1)(0.299 9 0.066 6 1)

6.997 1 7.007 1 7.003 7 7.000 0 6.999 1 6.999 2