14-15-1高等数学A1期中试卷答案及评分标准

大一高数复习资料

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淮 海 工 学 院

14 – 15学年 第 1 学期 高等数学

A1 期中试卷

二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

11

1．lim[ ]．

x 0ln(1 2x)2x

解：原式 lim

2x ln(1 2x)2x ln(1 2x)

--------------------------------------3 lim2x 02xln(1 2x)x 04x

1 (1 2x) 12x1

lim ． L'Hlim---------------------------------------------4

1

1.lim2x

x 0

(1 x)

-----------------------------------------------------------------------------（D）

(A) e2

(B) e (C) 2 (D) 2. 设f(x)

x 2,0 x 1

2x,x 1

，则x 1是该函数的 ---------------------------------(B)

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 第二类间断点 (D) 连续点

3．设f(x) (x 1)(x 2)

(x n),n Z ，

则f 1()=---------------------(A) (A) ( 1)n 1(n 1)! (B) ( 1)n(n 1)! (C) ( 1)n 1n! (D) ( 1)nn!

4．设fx()n1 l() x x,则该函数在( 1,0)内的图象为----------------------------- (C)

(A) 增且凹 (B) 减且凹 (C) 增且凸 (D) 减且凸 5、当n ，n5,lnn5,,5n趋于无穷大速度最慢的是 --------------------- (B)

(A) n5

(B) lnn5

(C) (D) 5n

6.若f(x)的某一原函数为

1

6

cos6x，则f (x) -----------------------------------------(B) (A) 6sin6x (B) 6cos6x (C) 6sin6x (D) 6cos6x

7．下列式子中正确的是------------------------------------------------------------------------- (D)

(A) df(x) f(x) (B) df(x) f(x)dx (C) d f(x)dx f(x) (D) d f(x)dx f(x)dx

8.

csc

2

xdsinx -----------------------------------------------------------------------------(A)

(A) cscx C (B)cscx C (C) cotx C (D) cotx C

x 04xx 04x2

2．已知y y(x)由方程cos(xy) ex y 2所确定，求y'(0),y''(0)．

解： sin(xy)(y xy ) ex y(1 y ) 0-----------------------------------------------------3

将x 0,y 0代入上式得y'(0) 1-----------------------------------------------------1 又 sin(xy)(y xy')' [sin(xy)]'(y xy')

(ex y)'(1 y') ex yy'' 0-----2 将x 0,y 0,y'(0) 1代入上式得y''(0) 0．--------------------------------------1

. sin33x

cos4x

. 解：原式 tan3xsecxdx tan2

x(tanxsecxdx)----------------------------------------3

tan2xdsecx

(sec2

x 1)dsecx -------------------------------------------2

13sec3

x secx C. --------------------------------------------------------------2 4． arctanx

x2

． 解：原式 arctanxd1

x

-----------------------------------------------------------------------1

arctaxnx xa1rctaxn arxcx ta nx(1 x21

)-------------------2 arctaxnx x1 x

1 x

2

-------------------------------------------------2 arctanx

x lnC．(缺C扣1分)----------------------------------2

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三、计算题（本题8分）

f(x) ex e x

若ex e x

，求（1）f(x)的水平渐近线；（2） f(x)dx．

解：（1）limf(x) e2x 1xlim e2x 1

1,limf(x) lim1 e 2x

e 2x 1，-------------------2

x x x 1 故f(x)的水平渐近线分别为y 1,y 1；------------------------------------------------2

（2） f(x)dx e2x 12e2x

e2x

1dx (e2x 1 1)dx---------------------------------------------2 1e2x 1

d(e2x 1) x ln(e2x 1) x C．-------------------------------2

四、计算题（本题8分）

若方程x3 3x2

9x h 0在( , )内有三个根，试确定h的范围．

解：令f(x) x3 3x2 9x h 则f'(x) 3x2

6x 9

由f'(x) 3x2

6x 9 0 得x1 1，x2 3 -----------------------------------2 易知( , 1)，( 1,3)，(3, )为f(x)的单调区间 ------------------------------2

f( ) limx3(1

3x x 9h

x2 x

3) -------------------------------------------1

f( ) xlim x3(1 39h

x x2 x

3) -------------------------------------------1

f( 1) 5 h ， f(3) 27 h-------------------------------------------------1

故当 5 h 27时，有三个根分别在( , 1)，( 1,3)，(3, )上．-----------1

五、证明题（本题8分）

当x 0时，试取对数证明(1 x)

1

1x

e1

x2

．

证明：取对数，则要证的不等式变形为2(1 x)ln(1 x) 2x x2 -----------------2

令f(x) 2x x2

2(1 x)ln(1 x)，

f (x) 2x 2ln(1 x)，f (x)

2x

1 x

0，--------------------------------------------2 因此，f (x)在[0, )上单调增加，f (x) f (0) 0，---------------------------2 于是f(x)为[0, )上的单调增加函数，------------------------------------------------１ 故f(x) f(0) 0(x 0)，变形即得结论．--------------------------------------------1

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六、计算题（本题8分）

已知secxx

是函数f(x)的一个原函数, 求 x3

f (x)dx．

解 ：由题意有f(x) (secxsecx(xx) tanx 1)

x

2-----------------------------------------2 则原式 x3f(x) 3 x2f(x)dx x3f(x) 3 x2d secxx ---------------------------2

x3f(x) 3(x2

secx

x

2 secxdx)-------------------------------------------------2 xsecx(xtanx 4) 6lnsecx tanx C.-------------------------------------2

七、应用题（本题8分）

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A、B 及CD的中点P 处，已知

ABCB=10(km)，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长 …… 此处隐藏：2292字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……