双曲线的几何性质3(第二定义)精品原创课件

x2 y 2 方程 + 2 = 1(a > b > 0) 2 性质 a b

x2 y 2 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b

图形

范围 对称性

顶点坐标 离心率

B1 (0, b), B2 (0, b) A1 A2叫长轴, B1B2叫短轴c e = , (0 < e < 1) a

x ≤ a或x ≥ a, y ∈ R 关于x, y轴及原点对称 关于x, y轴及原点对称 A1 ( a,0), A2 (a,0) A1 ( a,0), A2 (a,0) a ≤ x ≤ a, b ≤ y ≤ bA1 A2叫实轴, B1B2叫虚轴c e = , (e > 1) a

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x2 y 2 双曲线 2 2 = 1, (a > 0, b > 0) a bb 直线y = ± x叫做双曲线的渐进线 ax2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 2 = 1 的渐进线为 2 2 = 0 a b a b

y

b y= x a

等轴双曲线 e = 2

O

xb y= x a

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练习：一动点M到定点F (4,0)的距离与到直线x = 1的距离 之比为2, 求M的轨迹方程。y

解：设M ( x, y ),由题意得：( x 4) 2 + y 2 =2 | x 1 |

M O

( x 4) 2 + y 2 = 4( x 1) 2 3 x y = 122 2

x =1

F

x

x2 y2 =1 4 12 ∴M的轨迹为以(±4,0)为焦点，实轴长为4的椭圆

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双曲线的第二定义

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椭圆的第二定义： 椭圆的第二定义：动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e = (0 < e < 1),则这个点的轨迹是椭圆. a定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的 准线，常数e是椭圆的离心率 .l'y

l

F1O

.

.

M F2

dx

.

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a2 点 M ( x,y )与定点F (c,)的距离和它到定直线l : x = 的 0 c c 距离的比是常数 (c > a > 0),求点M的轨迹 . a l 解： d是点M到直线 l的距离，则 l' y 设 d .M | MF | c 由题意知 = d a即 ( x c) 2 + y 2 c = . 2 a a | x | cF’

.

O

.

F

x

化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 = a 2 (c 2 a 2 ) .

x2 y 2 设 c 2 a 2 = b 2 ,则 方程化为 2 2 = 1 (a > 0, b > 0) a b

∴ 点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 2a、 b的双曲线 . 2

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双曲线的第二定义： 双曲线的第二定义：动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e = (e > 1),则这个点的轨迹是双曲线. y l l' a d .M 定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率 .x y 对于双曲线 2 2 = 1, a b a2 右焦点F2 (c, ),对应的右准线方程是 x = 0 . c a2 0 左焦点F1 ( c, )对应的左准线方程是 x = . c a2 焦点在y轴上的双曲线的准线方程是：y = ± c2 2

F’

.

O

.

F

x

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x2 y2 例1 已知双曲线 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0)的焦点F1 c,0)F2 (c,0), ( a b P( x0 , y0 )是双曲线右支上任意点 ，求证：| PF1 |= a + ex0 ,

a 证明： 证明： 双曲线的左准线为x = ∵ c | PF1 | c ∴由双曲线的第二定义得： a 2 = a x0 + c

| PF2 |= a + ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2

lP.

F1

.

O

.

F2

x

整理得 :| PF1 |= a + ex0

由双曲线的第一定义得： 2 |=| PF1 | 2a = a + ex0 | PF| PF1 |min = c + a | PF2 |min = c a

说明： 称为椭圆的焦半径， 说明：|PF1|, |PF2|称

为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式 称为椭圆的焦半径

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x2 y2 练习 已知双曲线 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0)的焦点F1 c,0)F2 (c,0), ( a b P( x0 , y0 )是双曲线左支上任意点 ，求 | PF1 |, | PF2 |

a2 证明： 证明：∵ 双曲线的左准线为x = c| PF1 | c = ∴由双曲线的第二定义得： 2 a a x0 c

P

. .

l' y

l

F1

O

.

F2

x

整理得 :| PF1 |= a ex0| 由双曲线的第一定义得： PF2 |=| PF1 | +2a = a ex0

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x2 y 2 例2:已知双曲线 = 1右支上一点P到右焦点的距离等于8, 64 36 求点P到双曲线左准线的距离。解： a = 8 , = 6 , = a 2+b2 =10 b c

l' y

lP.

设 P 到左、右准线距离分别为 d ' 、d,

| PF2 | ∴由双曲线的第二定义得： 则 =e d | PF2 | 8 32 d= = = e 5 54

F1

.

O

.

F2

x

a2 a2 2a 2 64 两准线间的距离 ( ) = = c c c 5 64 32 96 / d = + = 5 5 5

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x2 y 2 例2:已知双曲线 = 1右支上一点P到右焦点的距离等于8, 64 36 求点P到双曲线左准线的距离。解2:a = 8 , = 6 , = a 2+b2 =10 : b c

l' y

lP.

由双曲线的第一定义得：| PF1 |= 2a+ | PF2 |= 24F1

.

由双曲线的第二定义得：PF1 5 =e= d 4

O

.

F2

∴d =

| PF1 | 96 = e 5

x2 y2 思考：已知双曲线 = 1上一点P到右焦点的距离等于8, 64 36 求点P到双曲线左准线的距离。

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x2 y2 = 1的右焦点为F2 , M是双曲线 例3:已知双曲线方程为 9 16 3 右支上一点，定点A(9,2), 求 | MA | + | MF2 | 的最小值 5 y M .

解：由双曲线第二定义得：

| MF2 | = e, (d为M到右准线的距离) d 5 即 | MF2 |= d 3 3 ∴| MA | + | MF2 |=| MA | + d 5 a2 9 36 ∴ (| MA | + d ) min = x A =9 = c 5 5

F1

.

O

.

F2

A x

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x2 y2 练习：已知双曲线方程为 = 1的右焦点为F2 , M是双 9 16 曲线右支上一点，定点A(9,2), 求 | MA | + | MF2 | 的最小值。y

解：由双曲线第一定义得：| MF1 | | MF2 |= 2a = 6F1

M .

.

O

.

F2

A x

即 | MF2 |=| MF1 | 6 ∴| MA | + | MF2 |=| MA | + | MF1 | 6∴ (| MA | + MF1 | 6) min =| AF1 | 6 = 14 2 + 2 2 6 = 10 2 6

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作业： 作业：习题8.4 : 7、题 8 《创新设计》双曲线几何性质二