1.3二项式定理第二课时

1.31.3.2

二项式定理“杨辉三角”与二项式 系数的性质

设计人：王梦炬

问题提出

1.二项式定理是什么？二项展开式有 哪些基本特征？ n 0 n 1 n- 1 2 n- 2 2 (a + b) = C n a + C na b + C n a b +n- 1 n n- 1 n n n

L + C ab + C b 共有n+1项；字母a的最高次数为n且按 降幂排列；字母b的最高次数为n且按升 幂排列；各项中a与b的指数幂之和都是n; 各项的二项式系数依次为 0 1 2 n 且与a,b无关. C ,C ,C , L ,Cn n n n

2.二项展开式的通项是什么？

Tk+1 = C a

k n

n- k k

b

3.组合数有哪两个基本性质？

C

m n

=C

n- m n

C

m n+1

=C

m n

+C

m- 1 n

4.二项式系数是二项展开式中的基本 数据，它有许多变化规律，探究、了解 二项式系数的基本性质，对提升思维素 养，进一步理解二项式定理和运用二项 式定理解决某些实际问题，都有重要的 作用.

探究(一):杨辉三角

问题1:(a+b)1,(a+b)2,(a+b)3, (a+b)4,(a+b)5,(a+b)6的展开式中 的二项式系数分别是哪些组合数？并将 它们的计算结果填入下表：n 1 2 3 4 5 6 二项式系数

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

1 3 6 10 15

1 4 10 20

1 5 15

1 6

1

n 1 2 3 4 5 6

二项式系数

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

1 3 6 10 15

1 4 10 20

1 5 15

1 6

1

问题2:观察上表中每一行的数据，你发 现了什么规律吗？具有对称性

问题3:将上表写成如下形式，你又能发 现这些数据有什么新的规律吗？(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 (1)每行两端的数都是1;(2)与两端等距 离的项的系数相等；(3)在相邻的两行中， 除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数 的和，等等.

(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 1 6 15 20 15 6

1

问题4:上述数表是我国南宋数学家杨辉在 1261年所著的《详解九章算法》一书中最先 提出的，是我国古代数学的一个重要成果， 比欧洲早五百年左右，我们把这个数表称为 杨辉三角，杨辉三角的上述基本性质如何用 组合数性质解释？

问题5:利用杨辉三角，(a+b)7的展开 式中各项的二项式系数分别是什么？(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 1 6 15 20 15 6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

探究(二):二项式系数的性质

问题1:对给定的正整数n,设函数 r f (r ) = C n ,r∈{0,1,2, ,n}, 当n=6时，函数f(r)的图象是什么？f(r)

2015 10 5

O

1 2 3 4

5

6

r

问题2:一般地，函数 f (r ) = C , r∈{0,1,2, ,n}的图象是

什么？ 它具有怎样的对称性？ n n+1个孤立的点，关于直线 r = 对称 2 问题3:在二项式系数 0 1 2 k n- 2 n- 1 n C n ,C n ,C n , L C n , L C n ,C n ,C n 中，哪些二项式系数是相等的？

r n

与首末两端“等距离”的两个二项式系 数相等.

问题4:相邻两个二项式系数的大小关系 k- 1 k 如何？从理论上如何确定 C n 与 C n 的 大小？ n- k+1 n+1 k k- 1 Cn > Cn ? 1? k k 2 问题5:通过上述分析，二项式系数的增 减性与最大值分别是什么？二项式系数的前半部分是递增的，后半 部分是递减的，且在中间取得最大值.

问题6:当n分别为偶数和奇数时，第几 项的二项式系数最大？ n 当n为偶数时，第 + 1项的二项式系数 n 2 为最大；

C n2

n+1 当n为奇数时，第 2

的二项式系数Cn+1 2 n

n- 1 2 n

n+ 3 和第 项的二项式系数 C 2

相等，且

同时为最大.

问题7:在二项式定理中，a,b可以任意 取值，特别地，当a=b=1时，可得什么 结论？当a=1,b=-1时，又可得什么 结论？

C +C +C +L +C = 2

0 n

1 n

2 n

n n

n

C +C +C +L =C +C +C +L = 21 n 3 n 5 n n- 1

0 n

2 n

4 n

问题8:上述结果表明，所有二项式系数 之和等于2n,所有奇数项的二项式系数 之和与所有偶数项的二项式系数之和相 等，且都等于2n-1.那么，如何求 (3+2x)n的展开式中各项的系数之和？ 令x=1,得各项的系数之和为5n.