1.3.1利用导数判断函数的单调性

复习1. 函数的单调性: 对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1 <x2时，都有f(x1)<f(x2),那么函数f(x) 就是区间I上的增函数.

对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2),那么函数f(x)就 是区间I上的减函数. 2. 导数的概念及其四则运算

引入新课 竖直上抛一个小沙袋，沙袋 的高度h是时间t的函数，设 h=h(t),其图象如图所示。

h A

t O a t0 b

横轴表示时间t,纵轴表示沙袋的高度h, 设沙袋的最高点为A,其横坐标为t=t0. 先考察沙袋在区间(a,t0)的运动情况： 根据生活经验，我们知道，在这个区间 内，沙袋向上运动，其竖直向上的瞬时速 度大于0,

h lim 即在区间(a,t0), t 0 t h '(t ) 0

我们说在此区间内，函数h=h(t)是增函数. 再考察沙袋在区间(t0,b)的运动情况： 在这个区间内，沙袋向下运 动，其竖直向上的瞬时速度 小于0,即在区间(t0,b), h lim h '(t ) 0 t 0 th A

t O a t0 b

我们说在此区间内，函数h=h(t)是减函数。

用函数的导数判断函数单调性的法则：

1.如果在区间(a,b)内，f ’(x)>0,则f(x) 在此区间是增函数，(a,b)为f(x)的单调增 区间； 2.如果在区间(a,b)内，f ’(x)<0,则f(x) 在此区间是减函数，(a,b)为f(x)的单调减 区间；

我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来 说明这个法则的正确性： 当v(t)=s’(t)>0时，s(t)是增函数； 当v(t)=s’(t)<0时，s(t)是减函数。 我们还可以用函数曲线的切线斜率来 理解这个法则； 当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于 90°,函数曲线呈上升状态； 当切线斜率为负时，切线的倾斜角小于 90°,函数曲线呈下降状态.

如果函数y=f(x)在x的某个开区间内，总 有f ’(x)>0,则f(x)在这个区间上是增函数； 如果函数y=f(x)在x的某个开区间内，总 有f ’(x)<0,则f(x)在这个区间上是减函数。y

x O

例1.如图，设有圆C和定点O, 当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速 旋转(旋转角度不超过90°)时， 它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t的函数，它的图象大致是 下列四种情况中的哪一种？

解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t) 开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增 速快， 图A表示S的增速是常数，与实际不符， 图A应否定； 图B表示最后时段S的增速快，也与实际 不符，图B也应否定； 图C表示开始时段与最后时段S的增速快， 也与实际不符，图C也应否定； 图D表示开始与结束时段，S的增速慢， 中间的时段增速快，符合实际，应选D。

例2.确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间 内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f ’(x)=(x2-2x+4)’=2x-2. 令2x-2>0,解得x>1. ∴当x∈(1

,+∞)时，f ’(x)>0, f(x)是增函数.令2x-2<0,解得x<1. ∴当x∈(-∞,1)时，f ’(x)<0, f(x)是减函数.

例3.找出函数f(x)=x3-4x2+x-1的单调 区间。 解：f ’(x)=3x2-8x+1,令3x2-8x+1>0,解此不等式得4 13 x 34 13 或 x 34 13 4 13 ( , )和( , ) 3 3

因此，区间

为f(x)的单调增区间；

令3x2-8x+1<0,解此不等式得4 13 4 13 x 3 34 13 4 13 因此，区间 ( , ) 为f(x)的单调 3 3

减区间。

1 例4.证明函数f(x)= 在(0,+∞)上是减 x 函数. 1 1 证明：∵f ’(x)=( )’=(-1)·-2=- 2 , x x x

∵ x>0,∴x2>0, 1 ∴- 2 <0. 即f ’(x)<0, x 1 ∴f(x)= 在(0,+∞)上是减函数. x

例5.求函数y=x2(1-x)3的单调区间. 解：y’=[x2(1-x)3]’

=2x(1-x)3+x2· 3(1-x)2· (-1)=x(1-x)2[2(1-x)-3x] =x(1-x)2· (2-5x)2(2-5x)>0,解得0<x< 2 令x(1-x)

∴

y=x2(1-x)3的单调增区间是(0,

2 ) 5

5

.

令x(1-x)2(2-5x)<0,2 解得x<0或x> 且x≠1. 5

∵ x=1为拐点，∴ y=x2(1-x)3的单调减区间是2 (-∞,0),( ,+∞) 5

练习题 1.函数y=3x-x3的单调增区间是( C )

(A) (0,+∞)(C) (-1,1)

(B) (-∞,-1)(D) (1,+∞)