ch2-3 数列极限存在的条件

数学分析第二章

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数列极限

数列极限概念 收敛数列的性质 数列极限存在的条件

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在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决： 1)先判断该数列是否有极限(极限的存在性问题); 2)若有极限，考虑如何计算极限(极限值的计算问题). 这是极限理论的两基本问题.在实际应用中，解决了 数列极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困 难，但由于当n充分大时，因an能充分接近其极限a,故 可用an作为a的近似值. 本节将重点讨论极限的存在性问题. 为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个 实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身 身的特征来作出判断.

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一、单调数列 如果数列{an}的各项满足关系式 an an+1 (an an+1 ), 则称数列{an}为递增数列 (递减数列)

递增数列和递减数列统称为单调数列 ( 1) n 1 1 如 ： 为 递 减 数 列 ，1 为 递 增 数 列 ， 而 则 不 是 单 调 数 列. n n n

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定理2.9(单调有界定理) 单调有界数列必有极限 具体地说，递增有上界的数列必有极限；递减有下界的 数列也必有极限. 定理2.9的几何解释以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移 动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界 数列只可能后者发生

a

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定理2.9(单调有界定理) 单调有界数列必有极限. 具体地说，递增有上界的数列必有极限；递减有下 界的数列也必有极限. 证明设 an 为 有 上 界 的 递 增 数 列.由 确 界 原 理 , 数 列 a n 有 上 确 界 , 记 a sup a n . 下证 a 就是 a 的极限 . n

事 实 上 对 0, 按 上 确 界 定 义 , N N + , 使 得 a N a n , 且 a a N .

再 由 an 的 递 增 性 知 ,当 n N 时 有 a a N an .

而 a是 a n 的 一 个 上 界 , 故 对 于 n N + , 都 有 a n a a + .所 以 当 n N 时 有 a an a + .同 理 可 证 有 下 界 的 递 减 数 列 必 有 极 限.

即 lim a n a .n

推 论 若 a n 是 递 增 有 上 界 的 数 列 , 则 其 极 限 存 在 ， 且 lim a n su p a n .n

从 而 对 n N + , 有 a n lim a n ; 若 a n 是 递 减 有 下 界 的 数 列 ， 有 相 应 结 论 .n

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例1

设 an 1 +

1 2

+

1 3

+ +

1 n

, n 1, 2, ,

其 中 实 数 1 .证 明 数 列 { a n }收 敛 .证 显 然 { a n }是 递 增 的 . 下 证 { a n }有 上 界 .1 2

事 实 上 ,因 为

an a2n 1 +

+

1 3

+ +

1 (2n)

1 1 1 1 1 + + + + + +

3 ( 2 n 1) 2 (2 n)

1 1 1 1 1 1 + + + + + + + 3 ( 2 n 1) ( 2 n + 1) 2 (2n)

an an 1 1 1 =1 + 2 1 + 1 1+ 2 + + + 4 (2n) 2 2 2

所 以 an 1

1 1 2 1

.

于 是 由 单 调 有 界 定 理 知 ,{ a n }收 敛 .

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例2

证明数列 :n

2,

2+

2,

2+

2+

2 , 收敛 , 并求极限 .下 面 证 明 { a n }有 上 界 .

证明: 记 a

=

2 + 2 + 2 , 易 知 { a n }是 递 增 的 . n个 根 号

显 然 有 a1 2 .

假 设 有 a k 2,

则 有 a k +1

2 + ak 2.

所 以 由 数 学 归 纳 法 知 ,对 于 一 切 的 正 整 数 n , 有 a n 2, 故 { a n }有 上 界 .

由 单 调 有 界 定 理 知 { a n }有 极 限 .设 lim a n a .n

由 于 a n +1

2 + a n , 所 以 a n +1 2 + a n .2

故两边取极限得 a解 得 a 1或 a 2,

2

2 + a,

由 数 列 极 限 的 保 不 等 式 性 a 1是 不 可 能 的 . limn

2+

2+ +

2 2.

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例3 设 S 为 有 界 数 集 , 证 明 : 若 su p S使 得 lim x n a .n

a S , 则 存 在 严 格 递 增 数 列{ xn } S ,

证明:

因 a 是 S 的上确界 , 故对任给的 0 , 存在 x S , 使得 x a ,

又 因 a S ,故 x a,从 而 有

a x a.

取 1 1 , 则存在 x 1 S , 使得 a 1 x 1 a . 1 再 取 2 m in { , a x1 } 0, 则 存 在 x 2 S , 使 得 a 2 x 2 a , 2 且有 x 2 a 2 a ( a x 1 ) x 1 . 1 按 上 述 步 骤 得 到 x n 1 S 之 后 , 取 n m in { , a x n 1 } 0 , n 则存在 x n S , 使得 a n x n a ,

且有 x n a n a ( a x n 1 ) x n 1 .将上述过程无限地进行 且满足 下去 , 得到数列 { x n } S , 它是严格递增数列 ,

a n x n a + n | x n a | n

1 n

, n 1, 2,

lim x n a .n

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例4

证明 : lim ( 1 +n n

1 n

) 存在 .

n

1 证明: 设 a n 1 + , n 1, 2, . n an 1 + n 1 n + n ( n 1) 2! 1 n2

由二项式定理， 1 nk

+ +

n ( n 1) ( n k + 1) k!

+ +

n ( n 1) 3 2 1 n!

1 nn

1+1+

1 1 1 1 k 1 1 1 2 n 1 1 + + 1 1 + + 1 1 1 2! n k ! n n n! n n n

a n +1 +

1 1 1 1 k 1 1+1+ 1 + + 1 1 + 2! n +1 k ! n +1 n +1

1 1 2 n 1 1 2 n 1 + 1 1 1 1 1 1

n +1 n +1 n +1 n! n +1 n +1 …… 此处隐藏：3174字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……