高等数学课件：D9_3全微分

第三节

第九章

全微分 y = A x + o( x)dy = f ′(x) x应用

一元函数 y = f (x) 的微分

近似计算 估计误差

本节内容: 本节内容

一、全微分的定义*二、全微分在数值计算中的应用

一、全微分的定义 、定义: 定义 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点 x , y ) 在定义域 的内点( 处全增量 可表示成

z = A x + B y + o(ρ ) ,则称函数 其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 不依赖于 有关，

A f ( x, y ) 在点 x, y) 可微， x + B y 称为函数 f (x, y) 在点( 可微，全微分, 在点 (x, y) 的全微分 记作

dz =d f = A x + B y内各点都可微, 则称此函数在 内可微. 若函数在域 D 内各点都可微 则称此函数在D 内可微

由微分定义 : lim z = lim[ (A x + B y ) + o(ρ ) ] = 0 x→ 0 y→ 0

ρ→0

得

x→ 0 y→ 0

lim f (x + x, y + y) = f (x, y)

即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微

z = f (x + x, y + y) f (x, y) 函数在该点连续

由上一节内容知： 由上一节内容知： 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续

可微与偏导数的关系: 可微与偏导数的关系 (1) 函数可微 (2) 偏导数连续 偏导数存在 函数可微

在点(x, 定理1 必要条件) 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点 y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 必存在, 必存在,且有

z z d z = x + y x y 证: 由全增量公式 得到对 x 的偏增量 z x z ∴ = lim =A x x→0 x z = B, 因此有 同样可证 y

令 y = 0,

x + x

x

= A x + o( x )

注意: 定理1 注意 定理 的逆定理不成立 . 即: 偏导数存在函数 不一定可微 ! xy 2 2 , x + y ≠0 2 2 x +y 反例: 反例 函数 f (x, y) =

0,易知 fx(0,0) = fy(0,0) = 0 , 但

x2 + y2 = 0 x y

z [ f x ( 0, 0) x + f y ( 0, 0) y] =

( x) + ( y)2

2

x y = ( x)2 + ( y)2

0

≠ o(ρ ) 因此 函数在点 (0,0) 不可微 . 因此,函数在点

z z 定理2 充分条件 充分条件) 定理 (充分条件 若函数 的偏导数 , x y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 则函数在该点可微分. 证： z = f (x + x, y + y) f (x, y)

=[ f (x + x, y + y) f (x, y + y)] +[ f (x, y + y) f (x, y)]= f x (x +θ1 x, y + y) x + f y (x, y +θ2 y) y ( 0 <θ1 , θ2 < 1) lim α = 0, lim β = 0 x→0 y →0 y→0

=[ f x (x, y) + α] x +[ f y (x, y) +β ] y

z = = f x (x, y) x + f y (x, y) y+α x + β y

lim α = 0, lim β = 0 x→0 y →0 y→0 注意到 α x + β y ≤ α + β → ( ρ → 0) 0当 . ρ 故有

z = f x (x, y) x + f y (x, y) y + o(ρ )所以函数 在点 可微. 可微.

推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 推广 类似可

讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如, 例如 三元函数 u = f (x, y, z) 的全微分为 u u u d u = x + y + z x y z 习惯上把自变量的增量用微分表示, 习惯上把自变量的增量用微分表示 于是

du =记作

u + dz z

dz u

dx u, dy u, dz u称为偏微分 故有下述叠加原理 称为偏微分.

du = dxu + dyu + dzu

例1. 计算函数 z yexy , = 解: x

处的全微分. 在点 (2,1) 处的全微分 z xexy = y

z = e2 , x (2,1)

z = 2e2 y (2,1)

例2. 计算函数 解: d u =1 cos y + (2 2

的全微分. 的全微分yz ) d y ze

*二、全微分在数值计算中的应用

1. 近似计算 由全微分定义

z = f x (x, y) x + f y (x, y) y + o(ρ)

dz可知当 及 较小时, 有近似等式 较小时 有近似等式:

z ≈ d z = f x (x, y) x + f y (x, y) y(可用于近似计算 误差分析 可用于近似计算; 误差分析) 可用于近似计算

f (x + x, y + y) ≈ f (x, y) + f x (x, y) x + f y (x, y) y(可用于近似计算 可用于近似计算) 可用于近似计算

有一圆柱体受压后发生形变, 例3. 有一圆柱体受压后发生形变 半径由 20cm 增大 高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体 到 20.05cm , 高度由 体积的近似改变量. 体积的近似改变量 解: 已知 则

≈ 2π rh r +π r2 h Vr = 20, h =100, r = 0.05, h = 1 ≈ 2π ×20×100×0.05+π ×202 ×( 1) V = 200π (cm3)即受压后圆柱体体积减少了

4.计算 例4.计算

的近似值. 的近似值

f(x,y ) = xy ,则 解: 设

f x (x, y) = y x取 则

y 1

, f y (x, y) = x ln xy

x = 1, y = 2, x

= 0.04, y = 0.02

1.042.02 = f (1.04, 2.02 )

=1+ 2×0.04 + 0×0.02 =1.08

2. 误差估计 利用 令

z ≈ f x (x, y) x + f y (x, y) y分别表示 x , y , z 的绝对误差界, 则

z 的绝对误差界约为

δ = z

fx(x,y ) δ+ fy(x,y ) δ x y

z 的相对误差界约为

δz

f y (x, y) f x (x, y) = δ x+ δy z f (x, y) f (x, y)

内容小结1. 微分定义 微分定义:

z =

+ o(ρ)

ρ = ( x)2 + ( y)2

dz = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy2. 重要关系 重要关系: 函数连续 函数可微 偏导数连续 函数可导

3. 微分应用 近似计算

f x (x, y) x + f y (x, y) y f x (x, y) x + f y (x, y) y 估计误差