北师大版2018-2019学年(新课标)高中数学必修1第三章第2节指数扩充及其运算性质

新课标----最新北师大版 北师大版高中数学必修一

2．1 指数概念的扩充

1．了解整数指数幂的概念．

2．理解分数指数幂的概念，掌握分数指数形式与根式形式的互化．

3．了解无理数指数幂和实数指数幂的概念．

1．整数指数幂

a n ＝(n ∈N ＋)，

a 0＝____(a ≠0)，

a －n ＝____(a ≠0，n ∈N ＋)．

【做一做1－1】 π0等于( )．

A ．0

B ．π

C ．1

D ．2π

【做一做1－2】 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－4＝__________. 2．分数指数幂

(1)定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n(m ，n 互素)，存在____的正实数b ，

使得b n ＝____，那么b 叫作a 的m n

次幂，记作b ＝____. 它就是分数指数幂．

分数指数幂m n

a 不是m n 个a 相乘，实质上是关于

b 的方程b n ＝a m 的解．

新课标----最新北师大版 (2)写成根式形式：

m

n a ＝____，1

m

n m

n a a -=＝____(其中a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．

(3)结论：0的正分数指数幂等于_________，0的负分数指数幂________．

【做一做2－1】 32

3等于( )． A.2B.33 C.327 D.27

【做一做2－2】 5

a －2等于( )．

A ．2

5a - B ．5

2a C ．25a D ．52

a - 3．无理数指数幂

一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的____．

指数的扩充过程：

(1)规定了分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充．

(2)规定了无理数指数幂后，指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂．

【做一做3】 计算： (1)1327-；(2)126449-⎛⎫ ⎪⎝⎭

；(3)212-⎛⎫ ⎪⎝⎭.

答案：1．1 1n

a 【做一做1－1】 C

【做一做1－2】 16

新课标----最新北师大版 2．(1)唯一 a m m

n a (2)n

a m 1

n a m (3)0 没有意义

【做一做2－1】 D

【做一做2－2】 A

3．实数

【做一做3】 (1)13 (2)78

(3)22

1．为什么分数指数幂的定义中规定b 为正实数？

剖析：由整数指数幂的规定知，当a ＞0时，对任意整数m ，总有a m ＞0.若b ＝0，当n 为正整数时，b n ＝0，此时b n ≠a m ；当n 为负整数或零时，b n 无意义，b n ＝a m 无意义．若b ＜0，当n 为奇数时，b n ＜0，此时b n ≠a m ；当n 为偶数时，虽然b n ＝a m 成立，但此时，0＞b ≠m n a ＞0.因此规定b ＞0.

2．为什么分数指数幂的定义中规定整数m ，n 互素？

剖析：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：13a 中，底数a ∈R, 当a ＜0时，13a ＜0，而如果把13a 写成26a ，有两种运算：一是26a ＝126()a 就必须a ≥0；二是26a ＝126()a ，在a ＜0时，26a 的结果大于0，与13a ＜0相矛盾．所以规定整数m ，n 互素．

题型一用分数指数幂表示正实数

【例1】 把下列各式中的b 写成分数指数幂的形式(b ＞0)：

(1)b 3＝4；(2)b －2＝5；(3)b m ＝32n (m ，n ∈N ＋)．

反思：将b k ＝d 中正实数b 写成分数指数幂的形式时，主要依据分数指数幂的意义： b n ＝a m b ＝a m

n

(m ，n ∈N ＋，b ＞0)． 题型二用分数指数幂表示根式