运输问题及其数学建模, 表上作业法,产销不平衡的运输问题, 应用举例.

第五章 运输问题

运输问题及其数学建模, 表上作业法,产销不平衡的运输问题, 应用举例.

本章主要内容：

§5.1 运输问题及其数学建模

§5.2 表上作业法

§5.3 产销不平衡的运输问题

§5.4 应用举例

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一、 运输问题及其数学模型

问题的提出:

在日常生活中，经常碰到物资调拨中的运输问题。 例如 电子商务中的物流问题，无论电商还是快递公司 都建立自己的物流仓库； 经济生活中，煤碳、钢材、粮食、木材等物资，在全 国都有若干生产基地； 分别将这些物资调到各消费基地去，应如何制定调运

方案，使总的运输费用最少？

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一、 运输问题及其数学模型（续）

例1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产 地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下 表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？

B1 A1 A2 销量 6 6 150

B2 4 5 150

B3 6 5 200

产量 200 300

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解：产销平衡问题：总产量 = 总销量＝500 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：

B1 A1 A2 x11 x21

B2 x12 x22

B3 x13 x23

产量 200 300

销量

150

150

200

Min C = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）

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物资调运是一个典型的线性规划问题. 1939前苏联经济学家康托洛维奇提出这一 问题,1941年美国数学家F.L.Hitchcock提 出运输问题数学模型,1951年Dantzig将此 类问题的解法系统化,完善化,改为用表上作 业法求解.

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1、运输问题的一般提法

运输问题的一般提法是：设某种物资有m个产地和n个

销地。产地Ai的产量为 ai (i 1,2, , m) ；销地Bj的销 量 bj ( j 1,2, , n)。从第i个产地向第j个销地运输每单位物资 的运价为Cij。 这就是由多个产地供应多个销地的单品种物资运输问

题。问如何调运这些物资才能使总运费达到最小。

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单位运价表

销地 产地 A1 A2 ┇ Am 销量

B1 c11 c21 ┇ cm1 b1

B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n ┇ ┇ ┇

产量 a1 a2 ┇ am

cm2 … cmn b2 … bn

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分两种情况来讨论：

（1）

a b

i 1 i j 1

m

n

j

。即运输问题的总产量等于其总

销量，这样的运输问题称为产销平衡的运输问题。 （2）

a b

i 1 i j 1

m

n

j

。即运输问题的总产量不等于总

销量，这样的运输问题称为产销不平衡的运输问题。

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2、运输问题的数学模型

若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下， 要求得总运费最小的调运方案，数学模型为：

min z cij xij

i 1 j 1 m n

m (3 1) xij b j j 1,2, , n i 1 n s.t. xij ai i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件

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