【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮专练 ：第14篇 第1节 含绝对值的不等式及其解法]

第1节 含绝对值的不等式及其解法

【选题明细表】

一、填空题

1.集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为 . 解析:不等式|x-2|≤5等价于-5≤x-2≤5,

解得-3≤x≤7,所以集合A为{x∈R|-3≤x≤7},集合A中的最小整数为-3. 答案:-3

2.(2013年高考江西卷)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为 .

解析:由||x-2|-1|≤1得-1≤|x-2|-1≤1,

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即0≤|x-2|≤2,所以-2≤x-2≤2, 从而得0≤x≤4. 答案:[0,4]

3.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k= . 解析:由|kx-4|≤2可知,-2≤kx-4≤2, ∴2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}, ∴k=2. 答案:2

4.(2013陕西师大附中第四次模拟)若不存在实数x使|x-3|+|x-1|≤a成立,则实数a的取值集合是 .

解析:y=|x-3|+|x-1|的几何意义为x轴上到点3和1的距离和,所以y=|x-3|+|x-1|的最小值为2,因此实数a的取值集合是{a|a<2}. 答案:{a|a<2}

5.(2013潍坊四县一区联考)不等式|x-1|+|x+1|≥3的解集是 . 解析

:|x-1|+|x+1|=原不等式可化为解得x≤

-或x≥.

所以不等式的解集为-∞

,-

∪,+∞.

或

或

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答案:-∞

,-

∪,+∞

6.(2013山东省实验中学第二次诊测)已知函数f(x)=|2x-a|+a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3},则实数a的值为 . 解析:由f(x)≤6得|2x-a|≤6-a,由题意知6-a>0,于是不等式的解集为{x|a-3≤x≤3}.所以a-3=-2,a=1. 答案:1

7.(2013年高考陕西卷)设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是 . 解析:由绝对值不等式得: |x-a|+|x-b|≥|a-b|, 又|a-b|>2,

所以|x-a|+|x-b|>2恒成立, 则原不等式的解集为R. 答案:R

8.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为 . 解析:原不等式可化为|2x+1|>2|x-1|, 两边平方得4x2+4x+1>4(x2-2x+1), 即12x-3>0,解得

x>. 答案:

x

x>

9.(2012年高考江西卷)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为 .

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解析:原不等式可化为或

解得

-≤x

≤,

即原不等式的解集为答案

:

或

.

10.若关于x的不等式|x-1|+|x+m|>3的解集为R,则实数m的取值范围是 .

解析:若|x-1|+|x+m|>3的解集为R, 即不等式恒成立,

则|x-1|+|x+m|≥|(x+m)-(x-1)|=|m+1|>3, 解得m>2或m<-4. 答案:(-∞,-4)∪(2,+∞) 二、解答题

11.(2013年高考福建卷)设不等式|x-2|<a(a∈N*)的解集为A,且∈

A, A. (1)求a的值;

(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.

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解:(1)因为∈A,且 A,

所以-2<a,

且-2≥a,解得<a≤.又因为a∈N*,所以a=1.

(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,

当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2时取到等号.所以f(x)的最小值为3.

12.(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.

(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;

(2)设a>-1,且当x∈-

,时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, 则

y=

其图象如图所示.

从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时, y<0.

所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. (2)当x

∈

-

,时,

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f(x)=1+a.

不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3. 所以x≥a-2对x∈

-

,都成立. 故

-≥a-2, 即a≤.

从而a的取值范围是

-1,.

13.(2013年高考辽宁卷)已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1. (1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;

(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.

解:(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=

当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1; 当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;

当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5; 所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}. (2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x), 则h(x)=

.

由|h(x)|≤2,解得≤x≤

又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},

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所以于是a=3.

14.(2013甘肃省兰州一中高三高考冲刺)已知函数f(x)=|x+a|. (1)当a=-1时,求不等式f(x)≥|x+1|+1的解集;

(2)若不等式f(x)+f(-x)<2存在实数解,求实数a的取值范围. 解:(1)当a=-1时,f(x)≥|x+1|+1可化为|x-1|-|x+1|≥1, 化简得

或

或

解得x≤-1,或-1<x≤-, 即所求解集为

xx≤

-. (2)令g(x)=f(x)+f(-x), 则g(x)=|x+a|+|x-a|≥2|a|, 所以2>2|a|,即-1<a<1.

所以实数a的取值范围是(-1,1). 15.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. 解:(1)当a=-3时,f(x)=

当x≤2时,由f(x)≥3得x≤1,此时x≤1; 当2<x<3时,f(x)≥3无解;

当x≥3时,由f(x)≥3得x≥4,此时x≥4. 综上知f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.

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(2)f(x)≤|x-4| |x-4|-|x-2|≥|x+a|, 当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| 4-x-(2-x)≥|x+a| |x+a|≤2 -2-a≤x≤2-a.

由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0, 故满足条件的a的取值范围为[-3,0].