创新大课堂高三人教版数学理科一轮复习课件选修4-4参数方程

第二节

参数方程

[主干知识梳理] 几种常见曲线的参数方程 1.直线 经过点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线的参数方程是 x=x0+tcos α, y=y0+tsin α

(t 为参数).

2.圆 以 O(a, b)为圆心， r 其中 α 是参数. x=rcos α, 当圆心在(0,0)时，方程为 y=rsin α. x=a+rcos α, 为半径的圆的参数方程是 y=b+rsin α,

.

3.椭圆 x=acos φ, x2 y2 (1)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是 其中 φ 是 a b y = b sin φ ,

参数. x=bcos φ, x2 y2 (2)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是 其中 φ 是 b a y=asin φ,

参数.

[基础自测自评] x=3t+2, 1.(教材习题改编)参数方程 y=t-1

(t 为参数)的普通方程为

________________. 解析 由 y=t-1,得 t=y+1,代入 x=3t+2,得 x=3y+5. 即 x-3y-5=0. 答案 x-3y-5=0

2 x=t , 2 . (2013· 陕西高考 ) 圆锥曲线 y=2t

(t 为参数 ) 的焦点坐标是

________. 解析 代入法消参，得到圆锥曲线的方程为 y2=4x, 则焦点坐标为(1,0). 答案 (1,0)

3.(2012· 湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴 π 的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线 θ= 与曲线 4 x=t+1, 2 y = t - 1

(t 为参数)相交于 A,B 两点，则线段 AB 的中点的

直角坐标为________.

π 解析 记 A(x1,y1),B(x2,y2),将 θ= , 4 转化为直角坐标方程为 y=x(x≥0), 曲线为 y=(x-2)2, 联立上述两个方程得 x2-5x+4=0, 所以 x1+x2=5, 故线段 AB 答案 5 5 , 的中点坐标为 2 2 .

5 5 , 2 2

4.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l

x=t, 的参数方程为 y=t+1

(参

x=cos θ+1, 数 t∈R), 圆 C 的参数方程为 y=sin θ

(参数 θ∈[0,2π)),

则圆心 C 到直线 l 的距离是________.

解析

直线方程可化为 x-y+1=0,圆的方程可化为(x-1)2+y2

=1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为 |2| 2 2= 2. 1 + -1 答案 2

5.(2013· 广东高考)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.以极点 为原点， 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 的参 数方程为________. 解析 极坐标方程化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, cos θ=x-1 令 sin θ=y x=cos θ+1 ,即 y=sin θ

(θ 为参数).

答案

x=cos θ+1, y=sin θ

(θ 为参数)

[关键要点点拨] x=x0+tcos α, 1.在直线的参数方程 y=y0+tsin α

(t 为参数)中 t 的几何意义

是表示在直线上过定点 P0(x0,y0)与

直线上的任一点 P(x,y)构 成的有向线段 P0P 的长度且在直线上任意两点 P1、 P2 的距离为 |P1P2|=|t1-t2|= t1+t2 2-4t1t2. 2.参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技 巧(如整体代换);二要注意变量取值范围的一致性，这一点最 易忽视

参数方程与普通方程互化[典题导入] (2012· 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 x=t, 的参数方程分别为 y= t

(t

x= 为参数 ) 和 y=

2cos θ, (θ 为参 2sin θ

数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________.

[听课记录] C1 的普通方程为 y2=x(x≥0,y≥0), C2 的普通方程为 x2+y2=2.2 y =x,x≥0,y≥0, 由 2 2 x +y =2,

x=1, 得 y=1,

故 C1 与 C2 的交点坐标为(1,1). 答案 (1,1)

[互动探究] 本例 1 中“曲线 x=1+2t, “ y=1-2t x=t, C1 的参数方程 y= t

(t 为参数 )”若变为

(t 为参数)”,试判断曲线 C1 与 C2 的位置关系. 得 x+y=2,又 C2 化为 x2+y2=2,

解析

x=1+2t, 由 y=1-2t,

|2| ∴圆心到直线 x+y-2=0 的距离，d= = 2=r, 2 ∴C1 与 C2 相切.

[规律方法] 1.消去参数的方法一般有三种： (1) 利用解方程的技巧求出参数的表示式， 然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3) 根据参数方程本身的结构特征，选用一 些灵活的方法从整体上消去参数. 2.将参数方程化为普通方程时，要注意防 止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小，必须 根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的 值域，即x和y的取值范围.