2.3 随机变量的分布函数及其性质

§2.3、随机变量的分布函数及其性质

一、定义 设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数

F ( x) P( X x), x

为X的分布函数(c.d.f.). 也常记为 FX ( x)

注１．用分布函数计算X落在(a,b]里的概率：

P ( a X b) P ( X b) P ( X a )

F (b) F (a)

] （ a

] b

定理1.（分布函数的特征性质）

(1)(非降性)F(x)是单调非降函数，即

x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )

(2)(有界性) 0 F ( x) 1, xlim F ( x) 1,

lim F ( x) 0, 即F(+ )=1,F(- )=0. x

(3)(右连续性) F ( x ) 右连续，即

F ( x 0) lim F (t ) F ( x)

t x 0

证明 （1） x1 x2

F ( x2 ) F ( x1 ) P{x1 X x2 } 0

F ( x1 ) F ( x2 )

（2）F ( x) P{X x}, 0 F ( x) 1

P{ X }

n

P{n X n 1}

n

n

{P( X n 1) P( X n)} {F (n 1) F (n)}

n n

lim F (n) lim F (n) 1

x

lim F ( x) 1, lim F ( x) 0

x

（3）由于F(x)为单调非降函数，只须证明对于一

列单调下降的数列 x1 x2 xn x* 成立

lim F ( xn ) F ( x* )

n

F ( x1 ) F ( x* ) P{x* X x1} P{ ( xi 1 X xi )} [ F ( xi ) F ( xi 1 )]

i 1 i 1

F ( x 1 ) lim F ( xn )

n

lim F ( xn ) F ( x* )

n

用分布函数表示概率

P(a X b) F (b) F (a) P( X a ) 1 P( X a ) 1 F ( a )

P( X a) F (a) F (a 0)

请 填 空

P ( a X b) P ( a X b)

F (b) F (a 0)

F (b 0) F (a)

P(a X b) F (b 0) F (a 0)

注1 分布函数也可定义为 F ( x) P X x 这样定义的分布函数仍满足性质1－3，但性质3 应改为左连续性。

注2 任一函数F ( x ) 为分布函数的充分必要条件 为：F ( x )满足上述三条性质。 例 F(x), G(x)为两个分布函数,

0 1,

证明 F ( x) (1 )G( x) 为一分布函数。

二、举例

例1 设离散型随机变量X的概率分布为

X 0 1 ２

P

0.2 0.5 0.3

（1）求X的分布函数F(x), 并画出F(x)的图形； （2）求 P 1 X 1 , P{ X 3}

解 (1)由于X只可能取, 0, 1, 2, 故 当x<0时,

当0≤x<1时,

X x ,

F ( x) P{ X x} 0

X x X 0 , F ( x) 0.2 当1≤x<2时, X x X 0 或 1 X 0 X 1

F ( x) P X x 0.7

当2≤x时,

X x ,

F ( x) P X x 1

从而归纳上述结果得

0, x 0 0.2, 0 x 1 F ( x) P{ X x} 0.7,1 x 2 1, x 2

0, x 0 U ( x) 1, x 0