量子力学考研模拟题2-解答

量子力学考研模拟题(2)参考答案

一、填空题

1．矢量，算符，厄米，本征值，态的叠加

2．力学量，Hamilton量，状态，状态，本征态

二、

1．证明 全同粒子的不可区分性体现在体系Hamilton量的交换对称性。也就是说，

H

(1,2) H (2,1) 因此，

P 12H (1,2) (1,2) H (2,1) (2,1) H (1,2)P 12

(1,2) 由此得到，

(P 12H (1,2) H 12P 12

) (1,2) 0 [P 12

H (1,2)] (1,2) 0 所以

[P 12H ] 0，P 12

为守恒量 2．证明

H

i dU

dtU

i dU

U dt i d(U U ) dU U dtdt

因为H

是幺正的， U

U 1， 所以

d(U

dt

U ) 0 因此

H

i

dU

dt

U

H

可见H

为厄米算符。 3．证明（1）

e

i

y

1 i

2

2

iy

12!

y

3!

3

3y

4

112

2!4! i y 35

3!5!

cos i ysin

(2)由于

cos i

y

cos

sin = sin

sin

cos

因此，

Tre

i

y

cos

=Tr sin

sin

=2cos cos

三、证明 因为

l x i y z i (y z) y z

l y i z x i (z x)

x z

l z i x y i (x y) x y

由此得到

222222

l x (y z)，l x (z x)，l x (x y)

因此，

22222

l l x l y l z 2 (x y z) 2

可见， x y z是l 的本征值为2 2的本征函数。

2

四、解 先把 ( , )用球谐函数展开如下：

14

( , )=

e

2

i

sin cos

=

1 3 13

38

sin e

i

cos

4 3Y10

2311

13

=

2Y11 Y10

13

可见，体系的l=1，m=0，1。因此，l z的可能测值为0或 ，出现0的几率为现 的几率为

23

，出

。l z的平均值为

lz

23

13 0

23

的作用后基态能量的一级修正值为 五、解 受到微扰H

E

(1)

( ,H ) H1111

a2

a

*

1

dx *H H1 1 1dx

a2

a

4ka

2

2

0a2

xsin

2

a

xdx

4ka

2

a

(a x)sin

a2

a

2

a

xdx

2ka

2

2 2k

x 1 cosx dx 2

a a 2

(a x)1 cosx dx a a

2

222

2k aaa 2 1 2 2 k 2

8 2a 8

六、解（1） 利用公式：

1 xn

a

n 12

n 1

n

n 1 2

得到

x

2

n

1

a 1a

2

n 12

xn 1

n

xn 1 2

n 12

n

n 1

2 n 2

2

n 22

n 2

1a

2

n2

n

n 12

n 2

n(n 1) m,n 2

由此可见

12a

2

(n 1)(n 2)n 2 (2n 1)n

2x0

22a

2

1

2m

（2）在一级近似下，体系从能级E0跃迁到En的跃迁振幅为，

an0(t)

i

1

t

nH 0e

i

n0

t

dt

其中， n0

1

(En E0)。因此，从基态0跃迁振幅

a20(t)

i

1

t

2x

2

0e

(i 20 2k)t

dt

2x

2

i

t

e

(i 20 2k)t

dt

20 2k)t

2x

2

e

(it2x

2

0(e

(i 20 2k)t

1)

i

i 0

20 2k

i (i 20 2k)

经充分长时间后(t )，

2x

2

a20(t )

1

i

i 20 2k

因此，跃迁几率为

P20( ) a120( )

2

2m2

2

14k

2

2

20

2

12m2

2

4k2 2

(E2

2 E0)

12m2

2

2

1

4 2

k

2

4 2

2

8m2

2

(k

2

2

)