一维热传导方程的基本解

第 1卷第 4 9期20 05年 1 2月

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一维热传导方程的基本解曹钢.王桂珍，任晓荣 (山东轻工业学院数理科学系，山东济南 200) 510摘要：文介用变来一传柯西问基 绍了积分换法求解维热导本题的本解，对其意义并物理进行了，讨论用积分变换法可以将偏微分方程化为常微分方程，使方程易J一解出，从基本解可以看出，在温度平衡过程中，杆上各点均受初始状态的影响，而且基本解满足归一化条件表示在热平衡过程中杆的总热最保持不变

关键词： 传导；本解积变热基分换中图分类 号 .1 _文献标识码 A 0 5 7 1 4文章编号： 0- 020)一o一 14 48( 50 D 0 2 0 4 n。

方程由于温度不均匀， 热量从温度高的地方向温度低的地方转移，称为热传导。其强弱用单位

时间内通过单位截面积的热量表示，热流密度 4叫。热传导的起源是温度 u不均匀，程度用其温度梯度 v。表示。富里叶热传导定律为

v 二一k v“

其中k热导数不同质各一[下导物的度ut,,所足为传系。物的k不样 1面出体温 ( xyz满 D。, )的方程。

设物体是均匀和各向同 性的，故其密度 P热传导系数‘、和比均为常数。又设物体内热。有热源分布，其密度为f t,,)即 (, yz,单位时间内体积△V x中热源所放出的热量为ftxy (,,,zo v )。在物体内取体积 V其边界曲面为 S,。在曲面上取面元 d, S由富里叶定律可知，无穷

小间 d通 d、流的量一 dt,t自内出热应时段‘过、内出热为* S,12。流的量为内从箭 d -内在

Q一， dt 1‘ a=丁 S: f汀 d由奥一高公式，有‘吃

fu=: S I udz f I n=In d d I。 d I y S d x笼少 1‘诀峨人子

故，‘万， d。一‘,xz=丁 nd}一 uy t dd另外，在同样时间同样体积内，源放出的热量为热收稿日期：05 3 8 20一0一0

作者简介：曹钢(9 1 w-)男， .山

东省济南市人，副教授，从事物理理论与实验、数学物理方法等方面的教学与研究工作，

一维热传导方程的基本解

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第 1 9卷

Q一}f yddt 2k姆t,d!=f ( zyd z,)z 1一 x热 -使物体温度由“t xYz变为 ut xYz。由热学公式，量差 Q Q 2 I (1,,), (, ) 2,,温度的改变所须热量为

。皿p(x,一 t,)dz, C t,),, Iy=[ 2Y (x,d d u, z iy x z

= c"fd琴Idd p ty f dz 1 ' x

= ddf c琴u p dz f x d z yt 1 d由热平衡，应有 Q一 I Q,: Q= 3即

“ .一 d’J’ t v U由于 t t和 v l:,都是任意的，故得到 C, k u f 0 P一}= U一

{盯「 d一一} dz‘。, f *、 uxdd二{动u C p - l v} d

令。材/,方可为= C则程写 k, v

a二一十 7,, s“““ -k yz x t这就是三维热传导方程。如果物体内没有热源分布，则方程为du

a u

, *

t,

丽=a- - u现在考虑各向同性的均匀细杆，向为 x轴正向。设在每一个垂直于 x轴的截面上的 其方

温度相同，杆的细侧面与周围介质没有热交换，且杆内无热源。这时温度只是坐标 x和时间‘

的函因，= 0一热导程数，而 u u二，维传方为 r则}其中c 为比热，为细杆的密度。 p 2基本解定解问题， 2 z 0一 u au (>,二<<+二 u0二= ()= t x ) (,) ax的解.称为一维热传导柯西(a h) Cu y问题的基本解。下面试用积分变换方法解之。 c对 x u和s函数的富氏变换： 作

u 2_。// , 2粼 kp=u c

‘,二[t] u,xl￥ d ();( )丁 ()}}, * ux=一 tei,}￥p￥设 X时，,, -。 Uu E利用富氏 -0变换的性质，得到下面常微分方程的初始问题：

d a一)二， v 2。]一x t[ 2= ( u 2 uu:a 1二1二用解常微分方程的方法，易得其解为：

ut )e{。 t ( x=x一 Y I, p

一维热传导方程的基本解

第 4期

曹

钢等：一维热传导方程的基本解

作富氏逆变换，即得一维热传导方程

够 .价州州

u tx (, )二ix A a f d

用同样方法，可以求得三维热传导方程Cu y题的基本解： ah问 c

,,少，__‘户 3.一 x+2 z . _,、‘尸￣,-, 2, t,产 -上 _.一、. J1 L !, !+肠、舟，‘,一、‘, F 2

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可见，积分变换法可以将偏微分方程化为常微分方程，用使方程易于解出。

3物理意义对于一维热传导方程问题的基本解， 利用

不同时刻 t< 2 3 l<1 t…的温度分布函数 u t (,

二，一曲如图1示2 )画“线，所[o,由图可见， 当￡越小时， 0附近曲线越在高； t大时，当越曲线越平。当 t二时，￣在各点的温度均趋于零， t当 -0时，温度分布趋于 8x。但是， ()不论 t为何值，曲线下的面积总和是 1满足归一化条件，,即

0

图 1“一x曲线

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)u, ‘ .()二‘ td:x表示在杆的热平衡过程中， 其总热量保持不变，持开始一瞬间给于即保杆的热量 Q二p c o

对同个刻，二 k g,度布曲越表温度平过越也 时当。了邢 A时温分线平，明的衡程快，于一大就是当热传导系数 k越大，比热。和密度P越小时，温度平衡过程越快，这是符合实际情况的。从基本解还可以看出，开始一瞬间集中在点二传给杆一定热量后 .在二0以后任一时刻杆上各点均受到此初始状态的影响，若过程进行的时间越长，各点受到初始状态的影响越小。杆 …… 此处隐藏：2601字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……