指数、对数函数公式

指数函数和对数函数

重点、难点：

重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。

难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数

y ax，y logax在a 1及0 a 1两种不同情况。 1、指数函数：

定义：函数y ax a 0且a 1 叫指数函数。

定义域为R，底数是常数，指数是自变量。

为什么要求函数y ax中的a必须a 0且a 1。 因为若a 0时，y 4 ，当x 存在。

x

1

时，函数值不4

a 0，y 0x，当x 0，函数值不存在。

x

a 1时，y 1对一切x虽有意义，函数值恒为1，

xx

但y 1的反函数不存在，因为要求函数y a中的a 0且a 1。

1

1、对三个指数函数y 2x，y ，y 10x的图

2

象的认识。

x

对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：

①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y 2和y 10相交于(0，1)，当x 0

xx

时，y 10的图象在y 2的图象的上方，当x 0，刚好相反，故有10 2及

2

2

xx

10 2 2 2。

1

②y 2x与y 的图象关于y轴对称。

2

1

③通过y 2，y 10，y 三个函数图象，可以画出任意一个函数y ax

2

x

x

x

x

（a 0且a 1）的示意图，如y 3x的图象，一定位于y 2x和y 10x两个图象的中

1 1

间，且过点(0，1)，从而y 也由关于y轴的对称性，可得y 的示意图，即

3 3

通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

xx

2、对数：

定义：如果ab N(a 0且a 1)，那么数b就叫做以a为底的对数，记作b logaN（a是底数，N 是真数，logaN是对数式。）

b

由于N a 0故logaN中N必须大于0。

当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由ab N

(1)b logaN(2)

logaN

将（2）代入（1）得a的底数相同。 计算：

N

运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数

3

log12

3

3

解：原式 3

1

log122

1 3

log1

3

。

（3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①loga MN logaM logaN②loga③loga④loga

a

a

M，N R

M

logM logN M，N R N

N nlogN N R

1

N logN N R

n

n

a

a

3、对数函数：

定义：指数函数y ax(a 0且a 1)的反函数y logaxx (0, )叫做对数函数。

1、对三个对数函数y log2x，y log1x，

2

y lgx的图象的认识。

图象特征与函数性质：

（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y log2x与y lgx在点（1,0）曲线是交叉的，即当x 0时，y log2x的图象在y lgx的图象上方；而0 x 1时，

y log2x的图象在y lgx的图象的下方，故有：log215. lg15.；log201. lg01.

。 （2）y log2x的图象与y log1x的图象关于x 轴对称。

2

（3）通过y log2x，y lgx，y log1x三个函数图象，可以作出任意一个对数函数

2

的示意图，如作y log3x的图象，它一定位于y log2x和y lgx两个图象的中间，且过点（1,0），x 0时，在y lgx的上方，而位于y log2x的下方，0 x 1时，刚好相反，则对称性，可知y log1x的示意图。

3

4、对数换底公式：

logaN

logbN

logab

LnN logeN(其中e 2.71828…)称为N的自然对数 LgN log10N称为常数对数

由换底公式可得：

LnN

lgNlgN

2.303lgN lge0.4343

由换底公式推出一些常用的结论：

m1

或logab·logba 1 （2）loganbm logab

nlogba

mmn

（3）loganb logab （4）logana

n

（1）logab