材料力学 -刘鸿文-第四版 第六章 课件 弯曲变形

第 六章

弯曲变形·概述 · 挠曲线近似微分方程 · 用积分法求弯曲变形 · 用叠加法求弯曲变形 · 简单超静定梁 · 提高梁刚度的一些措施 目录

§ 6. 1 弯曲变形的概念一，基本概念 1,取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ， ,取梁的左端点为坐标原点， 横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵向对称平面y

x A B

2,度量梁变形后横截面位移的两个基本量 ，

y C' ω挠度A B

C

x

(1)挠度(ω): 横截面形心 C ( 即轴线上的点 ) 在垂直于 x 轴 )挠度( ) 方向的线位移，称为该截面的挠度。 方向的线位移，称为该截面的挠度。

转角θ 转角θ

y C'θ

ω挠度A B

C

x

(2)转角(θ) :横截面对其原来位置的角位移 , 称为该 )转角( 截面的转角。 截面的转角。

转角θ 转角θ

y C'挠曲线

θ

ω挠度A B

C

x

二，挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。

转角θ 转角θ

y C'挠曲线

θ

ω挠度A B

C

x

挠曲线方程为

ω = f (x)

为该点的挠度。 式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ， ω 为该点的挠度。

转角θ 转角θ

ω = f (x)θ

y C'挠曲线

ω挠度A B

C

x

三，挠度与转角的关系： 挠度与转角的关系：

θ ≈ tgθ = ω' = f ' ( x)

转角θ 转角θ

ω = f (x)θ

y C'挠曲线

ω挠度A B

C 四，挠度和转角符号的规定 挠度：向上为正，向下为负。 挠度：向上为正，向下为负。

x

转角： 切线方向，逆时针转为正，顺时针转为负。 转角：自 x 转至 切线方向，逆时针转为正，顺时针转为负。

§6.2一，推导公式

挠曲线近似微分方程

纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 曲率

M = ρ EI

1

横力弯曲时( 横力弯曲时( 略去剪力对梁的位移的影响 ) M 和 ρ 都是 x 的函数

1 M( x) = ρ( x) EI

由几何关系知, 由几何关系知 平面曲线的曲率可写作

1 | ω' '| = ρ( x) (1+ ω'2 )321 M( x) = ρ( x) EI

M( x) 3 = 2 EI (1+ ω' ) 2

| ω' '|

| ω' '| (1+ ω′ )2 3 2

M( x) = EI

yM

M>0

ω′′ > 0

M

在规定的坐标系中，x 轴水平向右 为正， 轴竖直向上为正。 为正，y 轴竖直向上为正。 ω“ >0 , M > 0

o

x

曲线向下凸 时 ： 曲线向上凸 时 :

y ω“ < 0 , M < 0M

M<0

ω′′ < 0M

因此, 因此 M 与 ω‘’ 的正负号相同

o

x

ω′′(1+ ω′ )2 3 2

M( x) = EI

ω′2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计 故上式可近似为 相比十分微小而可以忽略不计,

M( x) ω′′ = EI此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 ω‘2 项。

若为等截面直梁, 若为等截面直梁 其抗弯刚度 EI 为一常量上式可改写成

EIω′′ = M(x)上式积分一次得转角方程

EIω' = EIθ =

∫ M( x)dx + C1再积分一次, 再积分一次 得挠度方程

EIω = ∫ [∫ M( x)dx]dx + C1 x + C2

§ 6.3转角方程： 转角方程：

用积分法求弯曲变形

EIω' = ∫ M( x)dx + C1挠度方程： 挠度方程：

EIω = ∫ [∫ M( x)dx]dx + C1 x + C2式中： 式中：积分常数 C1 、C2 可通过梁挠曲线的 边界条件 和 来确定。 变形 连续性条件 来确定。

边界条件 在铰支座处，挠度 在铰支座处，挠度ωA 和 ω B 都应 等于零。 等于零。 在固定端处， 在固定端处，挠度 ωA 和转角 θA 都应等于零。 都应等于零。A B A B

ωA= 0

ωB = 0

ωA= 0 θA= 0

连续性条件A B

在挠曲线的任一点上， 在挠曲线的任一点上，有唯一的 挠度和转角。 挠度和转角。 ×

A

B

×