2013年上海市中考数学试卷及答案(5)

24．（12分）（2013 上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°． （1）求这条抛物线的表达式；

（2）连接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

2

考点： 二次函数综合题. 专题： 压轴题. 分析： (1)根据 AO=OB=2,∠AOB=120°,求出 A 点坐标，以及 B 点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解 析式； (2)根据(1)中解析式求出 M 点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°,进而得出答案；3235835

(3) 分别根据当△ ABC1∽△AOM 以及当△ C2AB∽△AOM 时， 利用相似三角形的性质求出 C 点坐标即可. 解答： 解： (1)过点 A 作 AE⊥y 轴于点 E, ∵AO=OB=2,∠AOB=120°, ∴∠AOE=30°, ∴AE=1,EO= , ∴A 点坐标为： (﹣1, ) ,B 点坐标为： (2,0) , 2 将两点代入 y=ax +bx 得： ,

解得：

,

∴抛物线的表达式为：y=

x﹣

2

x;

(2)过点 M 作 MF⊥OB 于点 F, ∵y= x﹣2

x=

(x ﹣2x)= ) ,

2

(x ﹣2x+1﹣1)=

2

(x﹣1) ﹣

2

,

∴M 点坐标为： (1,﹣

∴tan∠FOM=

=

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25．（14分）（2013 上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13

，AB=5，设AP=x，BQ=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；

（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．

∴BQ=PQ,BM= BP,∠BMQ=90°, ∴∠MBQ+∠BQM=90°, ∵∠ABP+∠MBQ=90°,∴∠ABP=∠BQM, 又∵∠A=∠BMQ=90°, ∴△ABP∽△MQB, ∴ ,即 ，化简得：y= BP =2

(x +25) .2 2 2 2 2

2

当点 Q 与 C 重合时，BQ=PQ=13,在 Rt△ PQD 中，由勾股定理定理得：PQ =QD +PD ,即 13 =5 +(13﹣ 2 x) ,解得 x=1; 又 AP≤AD=13,∴x 的取值范围为：1≤x≤13. ∴y= (x +25) (1≤x≤13) .2

(2)当⊙P 与⊙Q 相外切时，如答图 1 所示：

设切点为 M,则 PQ=PM+QM=AP+QC=AP+(BC﹣BQ)=x+(13﹣y)=13+x﹣y; ∵PQ=BQ, ∴13+x﹣y=y,即 2y﹣x﹣13=0 将 y= (x +25)代入上式得： (x +25)﹣x﹣13=0, ,2 2

解此分式方程得：x= 经检验，x= ∴x= .

是原方程的解且符合题意.

(3)按照题意画出图形，如答图 2 所示，连接 QE.

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∵EF=EC,EF⊥PQ,EC⊥QC,∴∠1=∠2(角平分线性质) . ∵PQ=BQ,∴∠3=∠4, 而∠1+∠2=∠3+∠4(三角形外角性质) ,∴∠1=∠3. 又∵矩形 ABCD,∴AD∥BC,∴∠3=∠5, ∴∠1=∠5,又∵∠C=∠A=90°, ∴△CEQ∽△ABP, ∴ 将 y= ,即

2

,化简得：4x+5y=65, (x +25)=65,2

(x +25)代入上式得：4x+ ,

解此分式方程得：x= 经检验，x= ∴x= .

是原方程的解且符合题意，

点评： 本题是中考压轴题，难度较大.试题的难点在于：其一，所考查的知识点众多，包括相似三角形的判定与 性质、矩形的性质、勾股定理、圆的位置关系、角平分线的性质、垂直平分线的性质、解分式方程与一元 二次方程等，对数学能力要求很高；其二，试题计算量较大，需要仔细认真计算，避免出错.

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参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；sd2011；gbl210；HJJ；sks；HLing；wdxwwzy；CJX；hdq123；未来；ZJX；星期八；lantin；zjx111；zhjh（排名不分先后） 菁优网

2013年12月10日