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第七节 克拉默法则

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非齐次与齐次线性方程组的概念 a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn

则称此方程组为非 若常数项 b1 , b2 ,L, bn不全为零 , 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 齐次线性方程组 若常数项 b1 , b2 ,L, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组 此时称方程组为齐次线性方程组. 齐次线性方程组

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一、克拉默法则如果线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn

(1)

a11 a12 L a1 n a 21 a 22 L a 2 n ≠0 的系数行列式不等于零， 的系数行列式不等于零，即D = LLLLLLL a n1 a n 2 L a nn

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有解，并且解是唯一的， 那么线性方程组(1) 有解，并且解是唯一的，解 可以表为

Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,L , x n = . D D D D其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 阶行列式， 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即

a11 L a1 , j 1 b1 a1 , j +1 L a1n D j = LLLLLLLLLLL a n1 L a n , j 1 bn a n , j +1 L a nn

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例1 用克拉默则解方程组

2 x1 + x2 5 x3 + x4 = 8, x 3 x 6 x = 9, 1 2 4 2 x 2 x 3 + 2 x 4 = 5, x1 + 4 x2 7 x3 + 6 x4 = 0. 解

2 1 5 1 1 3 0 6 D= 0 2 1 2 1 4 7 6

r1 2r2 r4 r2

0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12

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7 5 13 = 2 1 2 7 7 12

c1 + 2c2

c3 + 2c2

3 5 3 0 1 0 7 7 2

3 3 = = 27, 7 28 1 5 1 9 3 0 6 D1 = 5 2 1 2 0 4 7 6 = 81,

2 8 5 1 1 9 0 6 D2 = 0 5 1 2 1 0 7 6 = 108,

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2 1 8 1 1 3 9 6 D3 = 0 2 5 2 1 4 0 6

2 1 5 8 1 3 0 9 D4 = 0 2 1 5 1 4 7 0 = 27,D2 108 x2 = = = 4, D 27D4 27 x4 = = = 1. D 27

= 27,D1 81 ∴ x1 = = = 3, D 27D3 27 x3 = = = 1, D 27

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例2 用克拉默法则解方程组 3 x1 + 5 x2 + 2 x3 + x4 = 3, 3 x + 4 x = 4, 2 4 x1 + x2 + x3 + x4 = 11 6 , x1 x2 3 x3 + 2 x4 = 5 6 .

解

3 5 2 0 3 0 D= 1 1 1 1 1 3

1 4 = 67 ≠ 0, 1 2

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3 4 D1 = 11 6 56

5 2 3 0 1 1 1 3

3 3 2 1 0 4 0 4 67 = , D2 = 1 3 1 11 6 1 2 1 5 6 3

1 4 = 0, 1 2

3 5 3 0 3 4 D3 = 1 1 11 6 1 1 5 6

1 3 0 4 67 = , D4 = 1 1 2 1 2

5 2 3 3 0 4 = 67, 1 1 11 6 1 3 5 6

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D1 3 = 1, ∴ x1 = = D 67 3D2 0 x2 = = = 0, D 67 67 D3 2 = 1, x3 = = D 67 2D4 67 x4 = = = 1. D 67

67

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二、重要定理定理1 定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 一定有解, 则 (1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 (1) 无解或有两个不同的 定理2 则它的系数行列式必为零. 解，则它的系数行列式必为零.

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齐次线性方程组的相关定理

a11 x1 + a12 x 2 + L + a1 n x

n = 0 a x + a x + L+ a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = 0 定理

(2 )

如果齐次线性方程组 (2 ) 的系数行列式 D ≠ 0 则齐次线性方程组 (2 ) 没有非零解. 没有非零解.

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定理 如果齐次线性方程组 (2 ) 有非零解,则它 有非零解, 的系数行列式必为零. 的系数行列式必为零. 系数行列式 D = 0

a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a x + a x + L+ a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = 0 有非零解. 有非零解.

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取何值时， 例3 问 λ 取何值时，齐次方程组 (1 λ ) x 1 2 x 2 + 4 x 3 = 0 , 2 x 1 + (3 λ ) x 2 + x 3 = 0 , x + x + (1 λ ) x = 0 , 1 2 3

有非零解？ 有非零解？

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解1 λ D= 2 13

2 3 λ 1

4 1 1 λ

1 λ = 2 1

3+λ 1 λ 0

4 1 1 λ

= (1 λ ) + (λ 3 ) 4 (1 λ ) 2 (1 λ )( 3 + λ ) = (1 λ ) + 2 (1 λ ) + λ 33 2

齐次方程组有非零解， 齐次方程组有非零解，则 D = 0 时齐次方程组有非零解. 所以 λ = 0 , λ = 2 或 λ = 3时齐次方程组有非零解

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三、小结1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (1)方程个数等于未知量个数; 方程个数等于未知量个数 (2)系数行列式不等于零. (2)系数行列式不等于零. 系数行列式不等于零 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.