微积分第3章习题课

时间：2026-01-18

第三章题课习

学数学科院学：汪小 w平iaxoinpg35@163.2co

例1 利用定分积定的表义示限极

n n 1.nlmi 2 2 2 2 n n 1n 2 n n 2 2 insn s n ni sni 2 .lim n n 1 11 n n 2 n 2/35

若 f(x 在)0,[1]积可则，有: 0 f(x ) d x il m n i 11 n

i 1f ) (n nn n n .1lmi 2 2 22 2 n n 1 n n2 n nn lm i 2 2 lim nn i1 ni 1

1 2 i n 1 n

11 dx 021 x 3/135

2 f 若( )x[在01,可],积则有 s:i sin n n n si n n.2il m i 11 n n 1 1 1 n n 0 f ( x )dx iml f () nn n 2 n i 1i s in sin 2 i n s nisin n n in n s nn n n 1 n 1 n 1n 1 i 1 n i 1 n 2 n ii sin n sni n n nli m n 1 sni xd 而xl m n ni n 0 n n 1 1 i i 1 由夹定逼知理

解： 2 si n nin n sisn im l n n 1 1 1 n n 2 n s0ni xxd .4/5

例2 计下列积分1算 . 1f x若 C , , 且对于 x , y 有 fx y f x f y ,算计

x 21 f1 x xd;

ins2 xd x 2 I 4 x1 e 4

/553

.设f2 x ,g x 在区间 a-, a a 0 上连 , g续 x 为偶函数，f且 x 满足件条 fx f+ x A A 常数为 .证 : 明()1 a a f x g x xd A g x dx . a

02)( 2 ins arxtac enx d x 2

/35

6 1 若f x C , , 对且于 x, y 有 1 f x y f x f y, 计算 x 2 1 x f xd; 1解：x 令 y 0, f (0) f (0 ) (f)0 f 0) ( 0 令有 y x ,有f 0) ( f (x ) f ( x) f ( x ) f( x) 因此f ( x 是奇函数) 。所以 421 1

x 2 1 f x xd 0

sin xd x 2 I x1 4 e 解：x令 t dx dt, x t x, t 4 4 44 2 sin 22x s ni sixnt 4 4 d x I x = d d t 4 x x t 1e 1 e 1 4 e 447/35

senix s n ix 4 xd另一方面I: x d x x 1 e e1 4 44

2 1 4 sni2 exx si 2 x n 所，以 I dx 4 dx x x 2 4 1 e e 14

1 4sin2 x e x in s x2 14 e( x 1) isn2 x x dx=

d xxx 2 41 e e 2 1 4e 1

s n xdix = 40 2

01 c o 2 x dx s

21 4 1 1 4 dx co s 2dx 2 x 8 4 0 4 0823/5

2. f 设 x , g x 在区间- a, a a 0 上续连，g x 偶函为数且，f x 满足件条 f x + f x A A 常数为. 明证 :( ) 1 a a f x g x dx A g x d x a .

0:解令x t x d t , dx a t a , x a t a

f( x ) g ( x) d xa aa 0

a f ( t )( g t)td a A f ( t ) (g )ttda

a 2 A g (t) d t 所，以 a a f( t) (g t) dt 2A g (t )dt 0 0a

aa a f ( x )g( )dxxf x g x xd A g x d x/39

(25)

2si xna rctnae dx

x I 2 sni tactrane t d t 2 sin x artac ne dxx t

12 x x 2I sin xrctan e dxa insx a rcta n ed x 2 2 2 1 2 s ni xartcane x rctaane x dx 2

令h( )x racatn e x a cran et x,则 x e ex (h x) x 22 x 0 1e 1e

以h所( )x C

2(令 x 0) ,I

2 0

sn idx x

1203/5

教 3.材15例 f ( x 设) C [ a, ],若bf( x ) 0 ,但 (fx )恒为零不证明， f ( x )dx 。0a b

3例设 f (x ) Ca [, ],若 bf (x dx) 0 ,则 a (, ),ba

使f ( ) 。0证:用反明法证。f若( x 在()a, )无零点，则b于f 由 x )( C a[ ,],则 b x ( , a)b,f ( x) 或0 (fx ) 0 不。妨f (设 x ) ,0f ( x至多)在端点零，为即由面上知，

bf( x d) 0,x矛盾。所以 (a , b) 使，f( ) 。11/053

题习31.、设f7 ( x), g( x C)[ , b],a且(gx ) 0,明：至少证存在一点 [ a, b],使：得

f(x ) g (x) dx (f ) g (x )d xabb

af( ) f (x ) g( x)d

xb ( g x)d x 0 a bbb m (g x d)x f (x ) g(x )dx M g( )dxx a a a g( x 0 ) gm( x) ( xf )g x () M( gx) mf ( )x M ag ( )dx

a mbf (x )g ( x )dx

ag ( x)dxb

M12/35

可改为:f 设 x( ),g ( x ) C [a , b,]且g ( x ) 0,证：至明存在一点少 (a, b ,使)得： a

bf ( x ) g ( xd)x f () g ( x) dxa bba a

b明证 : 1 [ a, b ],使得： (fx ) g ( x) x d f 1 ( )g (x )d x f ( x ) f 1( ) (g x )d x 。 0 a由于 f (x) (f ) 1是[a , ]b的上连续函，数由3例， ( a, b,) 使 f ( ) (f1 ) g ( )0 ,即 f ( ) f (1 ) 0 即 b

得f () (f1 )即，证1。3/5

3分积第中值一理定设f ( )x C[ a, b ],g且 x )在[a ( ,]b连不变号，续至少则存一在点 ( a, b,)得：使 a

f x ()g (x )xd f ( ) (gx )dx

当g( x )1时，有 :

baf (x ) xd f ( )x d f ( )( b a)a

b4/13

5例4 设

f ( x在)[a ,b ]上积可，F ( x作 ) ( f t)dt则,

axF ( )x是[ a b],的上连函数续。证: 明 x [ ,ab ]因为f,( x ) 积可所以， (fx )在[a ,b ]界，设有 | f(x )| M ,是于F( x x )F( x ) a

fx x ()x d g (x) dxa

xxf ( x )d x

x x x f ( )x xd M |x |