3第三章 1一阶二阶响应

一阶二阶响应

一阶二阶响应

典型输入信号 阶跃函数 抛物线函数 正弦函数 斜坡函数(等速度函数)

脉冲函数

一阶二阶响应

表 典型输入信号名 称时域表达式 频域表达式11 s 1 s2

单位脉冲函数单位阶跃函数 单位斜坡函数

(t ), t 01(t), t,

t 0 t 0

单位加速度函数正弦函数

1 2 t ,t 0 2

1 s3A s2 2

A sin t

一阶二阶响应

线性定常系统时域性能指标

一阶二阶响应

一、一阶系统的数学模型用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。

Rr(t)

C

c(t)

du c RC U c r (t ) dtRC C (t ) C (t ) r (t )

一阶二阶响应

R(s) –

1 R

1 C(s) Cs

传递函数为： C ( s) 1 ( s) R( s) s 1

R(s)

1 s 1

C (s )

等效方框图

这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。

一阶二阶响应

二、一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入：

r (t ) 1

1 1 1 C ( s ) ( s ) R( s ) s 1 s s s 1由拉氏反变换得：

1 R( s) S

h(t ) c(t ) 1 e

t /

一阶二阶响应

时间常数 反映了系统 的响应速度， 时间常数愈 小，则响应 速度愈快。

响应曲线在 t 0时曲线的斜率最大为 1 。如果 系统保持初始响应的速度不变，则只要 t 时，输出就能达到其稳态值。

一阶二阶响应

图 一阶系统的单位阶跃响应

动态性能指标 延迟时间：td 上升时间：tr

0.69

2.20

一阶二阶响应

一阶系统的阶跃响应没有超调，不存在峰 值时间。 即 t p 和 %不存在 理论上，调整时间均为无穷大。实际以3τ或 4τ作为一阶系统的调整时间。

一阶二阶响应

单位脉冲输入：

r (t ) (t )输出响应：

R( s) 1

1 C ( s) ( s) R( s) s 1

单位脉冲响应记作:g(t)g (t ) c(t ) e t 1

t 0

一阶二阶响应

响应曲线特点：g (t ) c(t ) e t 1

该曲线在t=0时斜率等

1 2 ,若系统保持初始 于响应的变化率不变，则当

图 一阶系统的单位脉冲响应

t 时输出就为零。

该曲线在t=0时等于 1 ,它与单位阶跃响应在t=0时的 变化率相等。这证明了单位脉冲响应是单位阶跃响应 的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分。

一阶二阶响应

单位斜坡输入：

r (t ) t

输出响应： 1 1 1 C ( s) ( s) R( s) 2 2 s 1 s s s s 1 时域响应：

1 R( s) 2 s

c(t ) (t ) e

t

t 0

稳态分量 暂态分量

一阶二阶响应

c(t ) (t ) e

t

图 一阶系统的单位斜坡响应

一阶系统的单位斜坡 响应的稳态分量，是一个 与输入斜坡函数斜率相同 但在时间上迟后一个时间 常数τ的斜坡函数。

一阶二阶响应

c(t ) (t ) e响应曲线特点：

t

在t=0处曲线的斜率等于零， 当 t →∞时，c (∞)=t -τ与输 入r(t)=t 差了一个时间常数τ 。图 一阶系统的单位斜

坡响应

这表明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出与 单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差。

一阶二阶响应

表传递函数

一阶系统对典型输入信号的响应输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应

(t )1 s 1

11 S 1 S2

1

e t t

1 t

1 e

t e

t

系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信 号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信 号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。