电磁场与电磁波

第4章 静态场分析

第4章 静态场分析静态场的工程应用 一、静态场特性 二、泊松方程和拉普拉斯方程 三、静态场的重要原理和定理

四、镜像法五、分离变量法 六、复变函数法

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第4章 静态场分析

静态场的工程应用含石英硫酸盐矿

硫酸盐矿

石英

选矿器

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均匀电场中带电粒子的 轨迹

阴极射线示波器原理

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磁分离器回旋加速器

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磁悬浮列车

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磁录音原理：

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第4章 静态场分析

一、静态场特性1. 静态场基本概念– 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。

V D B 0, 0, 0 t t t – 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁 场的特例。– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的 电场。– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。 – 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静 磁场。

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第4章 静态场分析

2. 静态场的麦克斯韦方程组

– 静态场与时变场的最本质区别：静态场中的电 场和磁场是彼此独立存在的。

l H dl S J c dS l E dl 0 S D dS V V dV S B dS 0 J c dS 0 S

H Jc E 0 D V B 0 Jc 0

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二、泊松方程和拉普拉斯方程1. 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 静电场基本方程 l E dl 0 D dS V dV S V

D E

E 0 D V

——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。

E D E V

( ) V

V ——泊松方程 2

无源区域 0

2 0 ——拉普拉斯方程

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2. 恒定电场的拉普拉斯方程 恒定电场基本方程

l E dl 0 J c dS 0 S

Jc E

E 0 J 0

——导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征， 是保守场 E ( ) 0 J c E 0

02

——拉普拉斯方程

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3. 恒定磁场的矢量泊松方程 恒定磁场基本方程

l H dl S J c dS B dS 0 S

B H

H Jc B 0

A J c B H J c 2 洛仑兹规范 A 0 A ( A) A J c

B A

——恒定磁场是无散有旋场。

A J c2

——矢量泊松方程

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A J c2

分解

2 Ax J x 2 Ay J y 2 Az J z

Jc 02

A 0 ——矢量拉普拉斯方程

在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有位场 的性质，引入标量磁位 m 来表示磁场强度。即 H m

H m H 0

2 m 0

——标量拉普拉斯方程

注意： 标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。

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拉普拉斯算子 2

直角坐标系

2 2 2 2 2 2 2 x y z1 1 2 2 2 (r ) 2 2 2 r r r r z

圆柱坐标系

球坐标系

1 1 1 2 2 2 (R2 ) 2 (sin ) 2 2 R R R R sin R sin 2

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三、静态场的重要原理和定理1. 对偶原理(1)概念：如果描述两 种物理现象的方程 具有相同的数学形 式，并具有对应的 边界条件，那么它 们解的数学形式也 将是相同的，这就 是对偶原理，亦称 为二重性原理。具 有同样数学形式的 两个方程称为对偶 方程，在对偶方程 中，处于同等地位 的量称为对偶量。

(2)静电场与恒定电场 对偶方程 对偶量静电场(无源区域) E 0

恒定电场(电源外区域) E 0

E D 0 D E

E Jc 0

J E

2 0q S

2 0I S

D dS

J c dS

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第4章 静态场分析 静电场(无源区域) E 0 D 0 D E q D dS S

(3)静电场与恒定磁场 对偶方程 对偶量

恒定磁场(无源区域) H 0 B 0

B H qm B dS S

2 0

2 m 0

(4)有源情况下的对偶关系 对偶关系存在 不像上述两种情况那样一目了然 (5)应用 电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系， 某些波导中横电波(TE波)和横磁波(TM波)间的对偶关系

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例1: 已知无限长同轴电缆内、外半

径分别为 R1 和 R2 ,如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 U , 外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。 解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程， 采用圆柱坐标系1 (r ) 0 积分 A ln r B r r rR2

R1

由边界条件

U A ln R1 B0 A ln R2 B

U A R ln 1 R2

U B ln R2 R ln 1 R2

R2 U 则： R ln r ln 2 R1

E

E

U r ln R2 R1

ar