2.1《椭圆及其标准方程》(新人教A版选修1-1)

(第一课时)

在生活中，还有另外一种曲线比较常见， 例如

引 言

运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线

通过图片已经知道了椭圆的形状，能否 动手画一个椭圆呢？

数 学 实 验

先回忆圆的画法：平面内，到定 点的距离等于定长的点的轨迹就 是圆. 如果把这一个定点分裂成两个定 点，会画出什么图形呢？

请同学们按照下列操作，动手画一画：

数 学 实 验

1.取一条定长的细绳； 2.把它的两端固定在图纸上的两点F1、F2;

3.用铅笔尖(M)把细绳拉紧，在图纸上慢慢 移动，看看能画出什么图形？

根据刚才的实验请同学们回答下面 几个问题：

数 学 观 察

1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置 是固定的还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没 有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点 距离大小有怎样的关系？

思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆

数 学 归 纳

是怎样定义的？

椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆. 两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点. 两焦点之间的距离叫做焦距.

根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？

数 学 推 理

先来回忆：求曲线的方程的基本步骤(1)建系设点; (3)列出方程； (5)检验 (2)写出点集； (4)化简方程；

第一步： 如何建立适当的坐标系呢？

数 想一想：圆的最简单的标准方程，是以 学 推 理F1O

圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴， 椭圆是否可以采用类似的方法呢？y

y MM F2 xO

F2 x F1

方案一

方案二

数 学 推 理

设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分 别为F1和F2,椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1和F2 的 距离的和等于2a (2a>2c>0)

请同学们自己完成剩下的步骤，求出 椭圆的方程.

方案一解：以焦点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c>0),M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的 坐标分别是( c,0)、(c,0) . 由椭圆的定义得： M

数 学 推 理

F1

0

F2

x

| MF1 | | MF2 | 2a因为 | MF1 | ( x c) 2 y 2 , | MF2 | ( x c) 2 y 2

所以 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a

移项，再平方

( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2

数 学 推 理

a 2 cx a ( x c) 2 y 2两边再平方，得

a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x 2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2整理得

(a c ) x a y a (a c )2 2 2 2 2 2 2 2

两边同除以a 2 (a 2 c 2 ),得：x2 y2 2 1 2 2 a a c

请看图片：你能从图中找出

表示a、c、 a 2 - c 2的线段么？

数 学 推 理F1

Pa2 c2

ya

O

c

F2

x

所以令b 2 = a 2 - c 2 (a > b > 0),x2 y2 所以椭圆的方程为 2 2 1(a b 0). a b 类似的由方案二可以得到椭圆的方程y2 x2 为 2 + 2 = 1(a > b > 0). a b

数 学 归 纳

x2 y2 1.我们把形如 2 + 2 = 1(a > b > 0)叫做椭圆的标准方程 a b yM

它表示焦点在x轴上的椭圆

F 1

o

F 2 x

y2 x2 2.也把形如 2 + 2 = 1(a > b > 0)叫做椭圆的标准方程 a byF2M

它表示焦点在y轴上的椭圆

oF 1

x

椭圆的标准方程有哪些特征呢？

椭圆的标准方程的特征：

数 学 归 纳

(1)椭圆标准方程的形式：左边是两个分式 的平方和，右边是1; (2)椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大， 则焦点在哪一个轴上; (3)椭圆的标准方程中a、b、c满足a2=b2+c2

例1

已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),2 2

(2,0), 并且经过点 ( 5 , 3 ) .求它的标准方程.

例 题 演 练

解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设2 2 x y 它的标准方程为 2 1 (a b 0). 2 a b

由椭圆的定义知

5 3 2 5 3 2 2 2 2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10 2 2 2 2

所以

a 10.

例 题 演 练

又因为2 2

c 2,所以2

b a c 10 4 6.因此, 所求椭圆的标准方程为

x2 y2 1 . 10 6思考？能用其他方法求它的方程么？