青岛版数学八上第五章

5.2为什么要证明

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俗话说“耳听为虚，眼 见为实” ,你是怎样理解 的？

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a

b

线段a,b长短怎样？

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a bc

d

a,b,c中的哪条线段与线段 d在同一条直线上？

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图中两条线段a与线段b的长度相等吗?

火 眼 金 睛a=b

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有人认为，对于所有自然数n,代数 式n2-n+11的值都是质数. 你怎么看待这个结论？

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当n=0,1,2,3,4,5时，代数式 n2 -n+11的值是质数吗？ nn2 -n+110 11 1 11 2 13 3 17 4 23 5 31

你能否得到结论：对于所有自然数n, 代数式n2-n+11的值都是质数？

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当n为自然数时，n -n+11的值 一定是质数吗？找数值代入，验证你 的结论. nn2 -n+116 41 7 53 8 67 9 83 10 11 101 121

2

对于所有自然数n,代数式n2-n+11的 值不一定都是质数.

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历史上很多数学家都想找到求质数的公式， 1640年，数学家费马验证了，当n=0、1、2、 3、4时，式子 2 2 n 1 的值为3、5、17、257、 65537都是质数，于是他断言“对于所有的自 n 2都是质数”由于费马在数学界的 然数n, 2 1 威望,在很长一段时间里，没有人怀疑这一结 论的正确性，并把这类数称为费马数。

费马(1601~1665)法国

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1732年，数学家欧拉指出，当n=5时

2 1 232 1从而否定了费马的结论。

2n

4294967297 641 6700417

费马(1601~1665)法国

更有意思的是，从第6个费马数开始, 数学家们在费马数中再也没有发现一个 新的质数，全都是合数. 有人甚至给出一个新的猜想： 当欧拉(1707-1783)瑞士

n ,费马数全都是合数！! 5

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这个故事告诉我们：

1、 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度。2、没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测 的结论可能潜藏着错误，未必正确。 3、要证明一个结论是错误的，举反例就 是一种常用方法。

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假如用一根比地球赤道长1米

的铁丝将地球赤道围起来，

我 来 猜 一 猜

那么铁丝与地球赤道之间的

间隙能有多大？能放进一颗核桃吗？ 间隙型”!

能钻过一只猫吗？ 建立“数学模

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解：设地球赤道的周长为c,半径为r1, 铁丝所围成的圆的半径为r2,则

2 r1 c, 2 r2 c 1c c 1 r1 , r2 2 2

r2 r1

c 1 c 1 r2 r1 0.16(m) 2 2 2 这样大的空隙， 钻过一只猫.

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假如用一根比篮球周长长1 米的铁丝将 篮球围起来，那么铁丝与篮球之间的间隙能有 多大？与地球相比谁的间隙大？

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解：设篮球的周长为c,半径为r1, 所围成的圆的半径为r2,则

铁丝

2 r1 c, 2 r2 c 1c c 1 r1 , r2 2 2

r2 r1

c 1 c 1 r2 r1 0.16(m) 2 2 2 这样大的空隙， 钻过一只猫.