2015年山东省德州市中考数学试题及解析

考点： 等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理. 专题： 规律型. 分析： 首先求得梯形 ABCD 的面积，然后证明梯形 AnBCnDn∽梯形 An﹣1BCn﹣1Dn﹣1,然后 根据相似形面积的比等于相似比的平方即可求解. 解答： 解：作 DE⊥AB 于点 E.菁优网版权所有

在直角△ ADE 中，DE=AD sinA=

a,AE= AD= a, a= a

.2

则 AB=2AD=2a,S 梯形 ABCD= (AB+CD) DE= (2a+a) 如图 2,∵D1、C1 是 A1C 和 BC 的中点， ∴D1C1∥A1B,且 C1D1= A1B, ∵AA1=CD,AA1∥CD, ∴四边形 AA1CD 是平行四边形， ∴AD∥A1C,AD=A1C=a, ∴∠A=∠CA1B, 又∵∠B=∠B, ∴∠D=∠A1D1C1,∠DCB=∠D1C1B, = , ∴梯形 A1BC1D1∽梯形 ABCD,且相似比是 . 同理，梯形 AnBCnDn∽梯形 An﹣1BCn﹣1Dn﹣1,相似比是 . 则四边形 AnBCnDn 的面积为 a.2

故答案是：

a.

2

点评： 本题考查了相似多边形的判定与性质，正确证明梯形 AnBCnDn∽梯形 An﹣1BCn﹣1Dn第 16 页(共 26 页)

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三、解答题：

18．（6分）（2015 德州）先化简，再求值：

÷（a﹣

），其中a=2+

，b=2

﹣．

19．（8分）（2015 德州）2014

年1月，国家发改委出台指导意见，要求2015年底前，所有城市原则上全面实行居民阶梯水价制度，小明为了解市政府调整水价方案的社会反响，随机访问了自己居住小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1，图2．

小明发现每月每户的用水量在5m﹣35m之间，有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓，不会考虑用水方式的改变，根据小明控制的图表和发现的信息，完成下列问题： （1）n= 210 ，小明调查了 96 户居民，并补全图1； （2）每月每户用水量的中位数和众数分别落在什么范围？

（3）如果小明所在小区有1800户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少． 33

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无所谓态度”的居民的户数除以它占被调查的居民户数的分率，求出小明调查了多少 户居民；最后求出每月每户的用水量在 15m ﹣20m 之间的居民的户数，补全图 1 即 可. (2)根据中位数和众数的含义分别进行解答即可. (3)根据分数乘法的意义，用小明所在小区居民的户数乘以“视调价涨幅采取相应的 用水方式改变”的居民户数占被调查的居民户数的分率，求出“视调价涨幅采取相应的 用水方式改

变”的居民户数有多少即可. 解答： 解： (1)n=360﹣30﹣120=210, ∵8÷ = =96(户) ∴小明调查了 96 户居民. 每月每户的用水量在 15m ﹣20m 之间的居民的户数是： 96﹣(15+22+18+16+5) =96﹣76 =20(户) .3 3 3 3

(2)96÷2=48(户) ,15+12=37(户) ,15+22+20=57(户) , ∵每月每户的用水量在 5m ﹣15m 之间的有 37 户，每月每户的用水量在 5m ﹣20m 之间的有 57 户， ∴把每月每户用水量这组数据从小到大排列后，第 48 个、第 49 个数在 15﹣20 之间， ∴第 48 个、第 49 个数的平均数也在 15﹣20 之间， ∴每月每户用水量的中位数落在 15﹣20 之间； ∵在这组数据中，10﹣15 之间的数出现的次数最多，出现了 22 次， ∴每月每户用水量的众数落在 10﹣15 之间. (3)∵1800× =1050(户) ,3 3 3 3

∴“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有 1050 户. 故答案为：210、96. 点评： (1)此题主要考查了对条形统计图的认识和了解，要善于从条形统计图中获取信息， 并能利用获取的信息解决实际问题.第 18 页(共 26 页)

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20．（8分）（2015 德州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，

AE∥OB， （1）求证：四边形AEBD是菱形；

（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．

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21．（10分）（2015 德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．

（1）判断△ABC的形状：

等边三角形 ；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于

的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

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又∵∠APC=60°, ∴△APD 是等边三角形， ∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,即∠ADC=120°. 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°, ∴∠ADC=∠APB, 在△ APB 和△ ADC 中， , ∴△APB≌△ADC(AAS) , ∴BP=CD, 又∵PD=AP, ∴CP=BP+AP; (3)当点 P 为 的中点时，四边形 APBC 的面积最大.

理由如下，如图 2,过点 P 作 PE⊥AB,垂足为 E. 过点 C 作 CF⊥AB,垂足为 F. ∵S△ APE= AB PE,S△ ABC= AB CF, ∴S 四边形 APBC= AB (PE+CF) , 当点 P 为 的中点时，PE+CF=PC,PC 为⊙O 的直径，

∴此时四边形 APBC 的面积最大. 又∵⊙O 的半径为 1, ∴其内接正三角形的边长 AB= , ∴S 四边形 APBC= ×2× = .

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