20 不定积分的第一类换元积分法

第四章第二节

不定积分不定积分的换元积分法 主要内容：第一类换元法.

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微分运算中有两个重要法则: 复合函数微分法和乘积的微分法. 在积分运算中, 与它们对应的是本节的 换元积分法和下节的分部积分法 基本积分法 (两种).

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一、第一类换元法

cos 2 xdx sin 2 x C sin 2 x 2 cos 2 x cos 2 x

cos xdx sin x C

1 解决方法 将积分变量换成 2 x. 因为 dx d(2 x) 2 1 令 t 2 x dx dt , 2 1 cos 2 x dx 2 cos t dt 1 1 sin t C sin 2 x C 2 23

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一、第一类换元法 定理1(换元积分公式) 设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有

f [j ( x )]j ( x )dx [ f (u)du][F (j ( x ))] F (u) j ( x ) f (j ( x )) j ( x )

u j ( x )

f [j ( x )]j ( x )dx F[j ( x)] C [ f ( u)du]u j ( x )4

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一、第一类换元法 定理1(换元积分公式) 设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有

f [j ( x )]j ( x )dx [ f (u)du] 换元积分过程

u j ( x )

f [j ( x )]j ( x )dx F [j ( x )] C

凑微分: j ( x )dx dj ( x )

f [j ( x )]dj ( x ) 换元:

f [j ( x )]dj ( x ) F [j ( x )] C上页 返回 下页 结束 铃

f (u)du F (u) C

关键点:如何确定中间变量 u=j(x)?5

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f [j ( x)]j ( x)dx f [j ( x)]dj ( x),

u j ( x) ?

从被积函数中明显的复合部分去确定 uu 2 x, 例 1 1 2 cos 2xdx cos 2x (2x) dx cos 2xd (2x) 例 1 du d (2 x ) (2 x )'dx 2dx.原式 2 cos u du 2

1 cos udu udu udu sin sin sin u uu C C C sin sin sin2 22 x x x C C C dx du, cos cos 2 x2 x2 2 x2 例 2 例 3 2xe dx e ( x ) dx e d ( x 2 ) eu du u x 2 ,1 原式 2 xe du 2xu2

du dx2 ( x 2 )'dx 2 xdx.2

xx2 e x d ( x 2 ) eu du eu C C C e e C

1 dx du, 2x下页 结束 铃

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f [j ( x)]j ( x)dx f [j ( x)]dj ( x),例 4. 例 3

u j ( x) ?

从被积函数中明显的复合部分去确定 u1 1 x 2 (1 x 2 ) dx 1 1 x 2 d (1 x 2 ) 2 x 1 x dx 2 2 du 2 d (1 x ) (1 x 2 )'dx 2 xdx.

u 1 x2 ,

1 原式 x u ( )du 2x11 33 33

1 dx du, 2x

11 uu 11 11 2 22 2 2 du 2 du 22 u u C C ( 1 ( 1 x x ) ) CC 22 33 333 3

du 1 u 2 C 1 (1 x 2 ) 2 C 3

3

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f [j ( x)]j ( x)dx f [j ( x)]dj ( x),例4

u j ( x) ?

从被积函数中明显的复合部分去确定 u

e

3 x

x

dx

eu 2 xdu x 3x

u 3 x,

2 u 2 u 2 3 e du e C e 3 3 3

C.

1 1 9 例5 2 (1 ) dx x x 1 9 2 2 u x du x 10 1 1 10 u 9 u du C (1 ) C . 10 x 108

1 u 1 , x

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f [j ( x)]j ( x)dx f [j ( x)]dj ( x),1 ln x dx. 例6 求 2 ( x ln x) 1 ln x 解 ( x ln x) 2 dx 1 d( xlnx) 2 ( x ln x) 1 C. x ln x9

u j ( x) ?

从被积函数中明显的复合部分去确定 u

u x ln x,du (1 ln x)dx.

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f [j ( x)]j ( x)dx f [j ( x)]dj ( x),通过凑微分确定 uln x 例7 dx x ln x d( ln x) 1 2 ln x C. 2 x dx 例8 4 1 x 1 1 2 d( x ) 2 2 2 1 (x ) 1 arctan( x 2 ) C. 210

u j ( x) ?

1 dx d (ln x) x

1 xdx d ( x 2 ) 2

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f [j ( x)]j ( x)dx f [j ( x)]dj ( x),通过凑微分确定 u1 ex x d( e d x e x 1 e x 1 1)

u j ( x) ?

例9

e dx d(e )x x

ln(e x 1) C.1 ex 例10 x x dx 2 x dx e e e 1 1 x 2 d(e x ) (e ) 1

arctan( e x ) C.11

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1 dx 例11 求 x 1 ex 1 1 e ex 解 法一 dx dx x x 1 e 1 e

ex ex 1 1 e x dx dx 1 e x dx 1 x dx d ( 1 e ) x 1 e x ln(1 e x ) C

e dx d(e )x x

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1 dx 例11 求 x 1 e法二

1 1 e x dx dx e 1 1 x d( e x ) e 1 1 x x d( e 1) e 1 x

e

x

e dx d(e )

x

x

ln(e x 1) C13

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( x )2 a

1 dx 1 1 dx 1 1 dx a 2 x 2 a 2 x 2 a d ux 2 a 1 ( ) 1 ( ) 2 a 11 11 1 x a 1 1 1 x 1 1 1 u dx 2 dx d 例 6. 2 dx dx d 例 6. 2 解 2 2 2 x2)2 aa 1 x x2)2 aa x aa xx aa 1 ( ( arctan u C 1 ( a ) 1 ( ) aa 1 1 1 x 1 a x

例 6. 例12 求

1 1 1 1 ud x arcsin x 2 1 1 dx 1 1 1 x x dx dx dx d a arcsin a C a2 2 22 a x2)2 x2)2 a a a a x x xx 1 ( 1 ( 1 ( a ) 1 ) ( arcsin u C a a a 11 dx 11 d x x xx arcsin CC dx d arcsin x x2 2 aa aa x 22 x 1 ( () ) 1 ( () ) 1 1 aa aa解14

arctan C x a a a 1 ( ) 2 a 1 例13 求 2 2 dx (a 0) a x

dx

a

d

du

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9 例14例求 例 例99 2 2 解

1 dx 1 ( 1 1 ) …… 此处隐藏：1671字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……