北京理工大学2010-2011学年第一学期微积分A期末试题(A卷)

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课程编号：MTH17005 北京理工大学

2010-2011学年第一学期

2010级《微积分A》期末试卷(A)

班 级 学 号 姓 名

(注：本试卷共6页，十一个大题。请撕下试卷最后一张空白纸做草稿。) 题号 一 得 分 评阅 人

一、填空（每小题2分，共10分） 1. 定积分

二

三

四

五

六

七

八

九

十

十一 总分

1

1

1 x4arcsinx

4 x

2

dx 2

2. 设y y(x)由方程yf(x) xf(y) x确定，其中f(x)是x的可微函数，则

2

dy

dx

f (lnx)

3. 已知 x2 C,则f(x) ;

xdyysinx

4. 微分方程满足初始条件y( ) 1的特解为

dxxx

5. 极限lim(

x 0

11

2 .

xtanxx

dx

0(2 x) x

1

二、（9分）计算广义积分

x3

三、（9分）讨论函数y 的单调性，凹凸性，并求其极值、曲线的拐点及渐2

(x 1)

2近线.

四、（9分）证明等式

2

0

a

1a2

xf(x)dx xf(x)dx,.其中f(x)连续，a 0.

20

3

2

并计算

0

x3sin(x2)dx.

五、（9分）求微分方程y 2y 3y e

x

x的通解.

0

六、(9分) 求极限lim

x 0

x2

1

(1 sin2t)tdt

(e 1)ln(1 x)

x

.

七、（9分）记曲线段x2 y2 4(y 0,0 x 1)与直线x 0,x 1及x轴所围的平面

图形为D. （1）求平面图形D的面积；

（2） 求图形D分别绕x轴、y轴旋转一周所成旋转体的体积.

x (t 1)etdyd2y

八、（9分）设曲线C的方程为 ，求,2及曲线C在参数t 0对应4

dxdx y 1 t

点处的曲率半径.

11 x ex 1, 九、(9分)设f(x) 1

, 2

1 cosx x

2,并求f (x).

x 0x 0，讨论f(x)在x 0处的连续性和可导性，

x 0

十、(9分) 跳伞运动员从高空自飞机上跳下，经若干秒后打开降落伞。开伞后的运动

过程中所受空气阻力为kv，其中常数k 0，v为下落速度，设人与伞的质量共为m，且不计空气浮力。试证明：只要打开降落伞后有足够的降落时间才着地，则降落的速度将近似地等于

十一、(9 分)设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足f(1) 2

证明：至少存在一点 (0,1)，使得f ( ) (1 )f( ).

1

2

mg. k

120

xe1 xf(x)dx，