2015年高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课件 新人教A版必修

第三章 三角恒等变换

3.1

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式并能应用.(重点) 2.能够熟练地正用、逆用和变形应用两角和与差的正切公 式.(重点、难点)

两角和与差的正切公式

做一做 (1)已知tan α=1,tan β=2,则tan(α+β)=______.tan α+tan β 1+2 解析：tan(α+β)= = =-3. 1-tan α tan β 1-2

答案：-3

(2)若

π tan α-4 =2,则

tan α=______.

π tan α-tan4 π 解析：tan α-4 = π 1+tan α tan4 tan α-1 = =2, 1+tan α ∴tan α=-3.

答案：-3

1.理解两角和与差的正切公式(1)公式成立的条件

π 角 α,β 以及 α± β 不能等于 kπ+2(k∈Z), 且 tan αtan β≠1(或 tan αtan β≠-1).

(2)公式的结构特征 公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的 和或差，分母为1与tan αtan β的差或和. (3)公式的符号规律 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.

2.两角和的正切公式的常用变形形式 (1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β). tan α+tan β (2)1-tan αtan β= . tan α+β (3)tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β). tan α+tan β (4)tan αtan β=1- . tan α+β

两角和与差正切公式的简单运用求值：(1)tan 75°;1+tan 75° (2) ; 1-tan 75° (3)tan 25° +tan 35° + 3tan 25° tan 35° .拆角 思路点拨：(1) 75° ――→ 75° =30° +45° (2) 1=tan 45° ―→ 构造两角和正切公式 (3)观察所求式，看它与 tan(25° +35° )展开式的关系求解.

tan 30° +tan 45° 解：(1)tan 75° =tan(30° +45° )= 1-tan 30° tan 45° 3 3 +1 = =2+ 3. 3 1- 3 tan 45° +tan 75° (2)原式= 1-tan 45° tan 75° =tan(45° +75° )=tan 120° =- 3.

(3)原式=tan(25° +35° )(1-tan 25° · tan 35° )+ 3tan 25° tan 35° =tan 60° (1-tan 25° tan 35° )+ 3tan 25° · tan 35° = 3- 3tan 25° tan 35° + 3tan 25° tan 35° = 3.

灵活运用两角和与差的正切公式的变形解题 公式 T(α + β) , T(α - β) 是变形较多的两个公式，公式中有 tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β)), 三者知二可表示或求出第三个.

求下列各式的值： 3+tan 15° (1) ; 1- 3tan 15° (2)tan 10° tan 20° + 3(tan 10° +tan 20° ).

tan 60° +tan 15° 解：(1)原式= =tan(60° +15° ) 1-tan 60°tan 15° tan 30° +tan 45° =tan 75° =tan(30° +45° )= 1-tan 30° tan 45° 3 3 +1 = =2+ 3. 3 1- 3