高二数学选修2-1 抛物线及其标准方程 ppt

2.3.1抛物线及其 标准方程开封25中学 赵煜东

喷泉

赵州桥

提出问题：点 F是定点,L是不经过点 F 的定直线, H 是L上任意一点， 连结 FH ,作线段FH的垂直平分线m,过点H作MH垂直L 交直线m于点M,拖动点H,观察点M的轨迹， 你能发现点M满足的几何条件吗？ m

LH

M

几何画板观察

F

问题探究： 即|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么？

探 究 ？

M

H

·

C

·F

l可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

一、抛物线的定义:在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,

H

d

M

·

C

·F

焦 点

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

d 为 M 到 l 的距离那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样?

二、标准方程的推导 解法：以过F且垂直于 l 的直线 yM(x,y)K o F 为x轴,垂足为K.以F,K的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x, y ) , FK p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x 2 2 依题意得p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 22

l

两边平方,整理得

y 2 px( p 0)这就是所求的轨迹方程.

三、标准方程把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x 2 2 想一想: 若抛物线的开口分别朝左、朝上、 朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？

﹒ ﹒ ﹒﹒y y y y

o

x

o

x

o

o

x

x

方案(1)

方案(2)

方案(3)

方案(4)

图 形l

标准方程

焦点坐标

准线方程

yO

FlO

x

y2=2px (p>0)y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0) 2

四.四种 p 抛物线的 x 2 对比p P的意义:抛物 x 2 线的焦点到准线的距离

yF

x

p ( ,0) 2p (0, ) 2

yFO

l

x

p 方程的特点: y 2 (1)左边是二次p y 2

ylO F

x

p x2=-2py (0, ) (p>0) 2

式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置.

思考：二次函数 y=ax2y (a=0) 的图像为什么是抛物线？ ax 2 (a 0) 当a>0时与当a<0时，指出它的焦点 坐标，准线方程

例1(1)已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ,求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线：x =-2 3 2

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求 抛物线的标准方程 x 2 =-8 y (3)已知抛物线的准线方程为 x = 1 ,求抛物 y 2 =-4 x 线的标准方程 (4)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程

y =

2

4 3

x或 x =2

9 2

y

课堂练习： 1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(3,0); 1 (2)准线方程 是x

= ; (3)焦点到准线的距离是2。

4

y2 =12x y2 =x

y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2 = 20x(1)

(2)x2=

1 y (3)2y2 +5x =0 2

(4)x2 +8y =0

焦点坐标(2)(3) (4)

准线方程

x=-5 (5,0) 1 1 y= - — (0,—) 8 5 8 5 (- —,0) x= — 8 8 (0,-2) y=2

学习小结:1.抛物线的定义:

2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:每一对焦点和准线对应一种形式.

3.p的几何意义是:

焦点到准线的距离

4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向.

作业：课本第64页A组第2题