苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter5
时间：2026-01-17
苏汝铿量子力学课后习题及答案
第五章 近似方法 典型例题分析
5.1设哈密顿量在能量表象中的矩阵为
E1 b E2+a
b
（1）用微扰法求能级至二级修正值。
（2）求准确地能级值，与（1）的结果进行比较确定微扰法的准确度及适用条件。
解题思路：解法1和解法2有一点区别H′是一样的，H0有一点点不同。（1）是利用非简并定态微扰论公式求得能级至二级修正值。（2）准确地求能级值ε，应从久期方程解出，再把它展开成多项式。
解法1 （1）体系的哈密顿量可写为 H=H0+H′ 。 取 H0=
E1 00 0b
′ ，H= 为微扰项。
E2 b0
有非简并定态微扰论公式
体系能级的零级近似：
(0)
ε1(0)=E1 ， ε2=E2
能级的一级修正：
(1)
′=0 ，ε2′=a ε1(1)=H11=H22
能级的二级修正：
ε1(2)ε
(2)
2
′H12b2
==
E1 E2E1 E2′H21b2
==
E2 E1E2 E1
2
2
能级的二级近似为：
b2
ε1=E1
E2 E1
b2
ε2=E2+a+ （1）
E2 E1
（2）准确的能级值由方程： 从而得到：
E1 ε
b
（其中ε为能量本征值）。 =0 解出
E2+a ε
b
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ε= （2）
当E2 E1>a 且 E2 E1>b 时，将
(E 2 E1+a)
展开
(E 2 E1+a) =(E2b2
2 E1+a)+E E+
21+a =(E2b22ab2
2 E1+a)+EE+2
+ 2 1(E2 E1)
代入（2）式后
εb2ab2
1=E1
E++ 2 E1(E2 E1)2
b2 ε=Eab2
22+a+EE 2
+ 2 1(E2 E1)
（3）式与（1）相比较可看出：
准确度 E≈ab2
(E)
2
2 E1 微扰法使用条件：
a
E E 1
21
b
E 1
2 E1
解法2 （1）取：H0= E10
E ，H′= 0b
0 2+a b0
能级的零级近似：ε(0)
1
=E ，ε(0)
12=E2+a
能级的一级修正：ε(1)
1=H11
′=0 ，ε(1)
2=H22′=0 3） （
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′Hb2
2
能级的二级修正：ε(2)
1
=12E a=
E 1 E22+a E1
2
ε
(2)2
=H′21b2
E+a E=
21E2+a E1
2 εb1=E1
E2+a E1
所以
εb2
2=E2+
E 2+a E1
（2）当 E2 E1+a>2b 时，将（严格）解中
(E2 E1+a)
(E展开：2 E1+a) =(E2b22b4
2 E1+a)+E E+a E3
+ 2+a1(E2+1)
代入（1）式中
ε=E2b22b4
11 E++
2+a E1(E2+a E1)3
ε2b2 2b4
2=E2+E++a E+ 2+a E1(E21)3（5）式与（4）式比较：
准确度 E≈2b4
(E
2+a E1)3
使用条件为：
b
E 1
2 E1+a
由上面可以看出，解法1较解法2的准确度低。
4） （5） （
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5.2（1）试证明在定态变分法中，对任意尝试波函数Ψ(x)求得基态能量E[Ψ]总是不低于实际的基态能量E。
（2）设一维势场为V(x)=λx ，今用变分法求粒子（质量为m）在其中运动的基态能量，问在下列尝试波函数中应选取哪一个？说明理由，并算出结果。
（a）
（d）
4
e
βx
（b）e
2
ax2/2
α2x2/2
（c）
xe
ax2/2
(ax+bx)e
（e）
ee
ikx ax2/2
（其中β,α,a,b,k等都是常数）
解题思路：证（1）就是先把波函数按基态波函数展开，再应用一般的求平均值公式征得。（2）先判断出哪一个波函数为尝试波函数。一维势场 V(x)=λx 具有空间反射不变性，
4
,p 为宇称算符。所以能量本征态有确定的宇称，基态波函数应为偶函数。 =0，p即 H
在所给尝试函数中（c），（d），（e）不满足此要求，不应取为尝试波函数。势场V(x)在有限区域内处处连续。(a)所示波函数在x=0处，一阶导数不连续，不满足此要求。由束缚态边界条件和连续性条件可取(b)为尝试波函数。然后再依据变分原理得到基态的能量。
解 （1）设体系的包括在内的一组力学量完全集的共同本征态为 Ψ0，Ψ1，Ψ2，…… 相应的能量本征值为
E0，E1，E2，…… 将任意尝试波函数Ψ(x)按其展开，得
Ψ(x)=∑cnΨn(x)
n
Ψdx/Ψ*Ψdx E[Ψ]=∫Ψ*H∫
ΨdxΨ(x)/∑c*cδ′=∑cn*cn∫Ψ*Hnnnnn
nn′
nn′
=∑cnEn/∑cn≥E0∑cn/∑cn
n
n
n
n
2222
=E0 所以
E[Ψ]≥E0
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4 ,p 为宇称算符。 =0，p（2）一维势场 V(x)=λx 具有空间反射不变性，即 H
所以能量本征态有确定的宇称，基态波函数应为偶函数。在所给尝试函数中（c），（d），（e）
不满足此要求，不应取为尝试波函数。势场V(x)在有限区域内处处连续。(a)所示波函数在x=0处，一阶导数不连续，不满足此要求。由束缚态边界条件和连续性条件可取(b)为尝试波函数。
Ψ(x)=e
α2x2/2
其中α为变分参数。
E(α)=∫e α
∞
+∞
22
x
22 d α2x2/2/24( +λx)edx 2
2mdx
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