2.1(2)数学归纳法及其应用举例

数学归纳法及其应用举例

第二章 极 限一 数学归纳法

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数学归纳法及其应用举例

2.1数学归纳法及其应用举例

( 2)

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数学归纳法

1.先证明当n 取第一个值n0(如n0=1)时命题成立2.假设当n=k(k N*,k n0)时命题成立，再证明当n=k+1 时命题也成立，

由1、2可知命题对大于等于n0的所有自然数都成立

递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉

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例1.求证：x2n y2n能被x+y整除证明：(1)当n=1时，x2n y2n=x2 y2=(x+y)(x y) 所以(x+y)(x y)能被x+y整除

(2)假设n=k时，x2k y2k能被x+y整除那么x2(k+1) y2(k+1)=x2kx2 y2ky2 =x2(x2k y2k)+x2y2k y2ky2

= x2(x2k y2k)+y2k(x2 y2)∵x2k y2k能被x+y整除，x2 y2能被x+y整除 ∴x2(x2k y2k)+y2k(x2 y2)能被x+y整除

即当n=k+1时x2(k+1) y2(k+1)能被x+y整除由(1)、(2)知命题对任何n∈N* 时都成立.

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例2.平面内有n (n 2)条直线，任何两条都不平行，任何三 条不过同一点，求证交点的个数为 f ( n) n( n 1) 2 假设n=k(k 2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线 的交点个数 f ( k ) k ( k 1) 2 当平面内有k+1条直线时，任取其中的一条直线，记为l,由 k ( k 1) 归纳假设，除l外的其他k条直线的交点个数为 f ( k ) 2 ∵任何两条直线不平行， ∴直线l必与平面内其它k条直线都相交(有k个交点); ∴上面的k个交点两两不相同，且与平面内的其它 k ( k 1) 2 个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是 又∵已知任何三条直线不过同一点，

k ( k 1) ( k 1)[( k 1) 1] k 2 2北京大峪中学高三数学组

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例3.用数学归纳法证明：对任意自然数n,数11n+2+122n+1是133的倍数 证明：(1)当n=1时，11n+2+122n+1=113+123=23 133

∴23 133能被133整除，即n=1时命题成立(2)假设n=k时，11k+2+122k+1能被133整除 那么11(k+1)+2+122(k+1)+1=11 11k+2+122 122k+1

=11 (11k+2+122k+1) 11 122k+1+122 122k+1=11 (11k+2+122k+1)+ 122k+1(144 11) = 11 (11k+2+122k+1)+ 122k+1 133

由归纳假设知11k+2+122k+1及122k+1 133都能被133整除∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除，即n=k+1时命题也成立 由(1)、(2),可知命题对一切自然数n都成立北京大峪中学高三数学组

课堂练习

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