ch2-6利用等价无穷小量代换求极限

第六节利用等价无穷小量代换极限

α 如果在同一变化过程中， 1 如果在同一变化过程中， ,α , β, β 都是无穷小量， 1 都是无穷小量，且 α α , β β , 且 f (x) 极 存 或 界，则有 限 在 有 1 1

limα f (x) = limα f (x) 1α α1 lim = lim β β1这是因为α lim α f ( x) = lim α1 f ( x) = lim α lim α1 f ( x)= lim f (x) α1 α1 α

α α1 β1 α α α1 β1 α1 lim = lim = lim lim lim = lim α1 β1 β α1 β1 β β β1

1

时 常用的一些等价无穷小 (x→0 )

sin x

x, tan x

x, 1 cos x 1 x 2 , arcsin x x,2

arctan x x, ln(1+ x) x,

e 1 x,x

n

x 1+ x 1 n

时, ~

~

~

~

t = arcsin x x =sint

t = arctan x x = tant

时,

~

~

T = e 1x

x = ln 1+T) (ex =1+T

ex 1=T

时,

~

例, 例, 例. 求 解:

2x 2 tan2x = lim = lim x→ 5x 5 0 x→ sin5x 0 1 1 limarcsin x sin = limx sin = 0 x→ 0 x x→0 xtan x sin x lim . 3 x→ x→ 0 x原式 和差极限不能用 等价无穷小代换! 等价无穷小代换

x x 原 = lim 3 式 0 x→ x= limx→ 0

x 1 x2 2 x3

例. 求:解: ~ ~

例. 求:解:

例.证明:证:

所以