线性代数第二章第二节

线性代数第二章

第二节要内主容矩的阵加 数与法阵矩相乘矩 的乘法阵 方的幂

阵阵的矩算运

阵矩阵矩积乘意义的矩阵 的置 方阵的行转式列 轭共阵矩

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一矩、阵的法1.加定义 定 义 设2 =A a(i)j×m 与nB =(bij)m× 是两n ( ab个(同矩型，阵称m n 矩× 阵C (=iaj+ b ji)mn×为矩 a 个同型(阵，矩阵 A 与矩 B 阵和的，记 A+B.为记 -若 A= -(aji), 则 -A 为称阵矩 A 负矩的 (阵. 然有 A显+ (- ) A O=. 此由可义矩定的差阵 为A -B = + (-BA) . (

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2- 运.规律算设 A, , C 为同B型阵, 则矩为同型矩 阵1( )A+ B =B+ A ( 加交换法 律 ;法交换律) 加(2 ) A( B+) +C= A +( B +C ()加结合律法 法加结律合);加 结法律合 () 3 A+O = + O = A, 是同A型阵; 矩其中O 与 A是同型阵 (4矩 ) A + -A ) = O .

(例

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设

2 5 3 2 A =1 0 , B = 4 5 , 3 7 3 9 95 C = 4 3 . (1) 三问矩个阵中些哪能行加法进算 运求并 三问矩个中哪阵些进能加法运行,算 和, 其哪不能进些加行运法算 ,明原因; 说其和 些哪不进能加法运算 行说原明 因2) (求C 负矩的 的阵矩阵.负

解

二、数

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矩与相乘阵1 定.义定义 3称 矩阵 A设= aij (m)n×, k 是一 数, 个则 是一数个

, k 1a 1 ka 2 1( aikj) × n= m ak m 1ka2 1a 2k 2 akm 2

k1n a ak n 2 kamn

为数 k 矩阵 A与的 数量乘积简 称乘数 ,为记k A.数量乘 , 积简称乘,数

2.

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运 规算律设 , BA 为型同阵, k矩 l 为,常数则， 同型为阵 矩为数，常(1) 1A = ;A (2)k (A)l= (l) A; (k3) (A k+B ) k=A+ k;B ()4(k + )lA= k A l+A. 性线运算 矩.相阵加数与乘矩阵，统为称阵矩线性的运 算矩阵相加与数乘矩阵，称为统阵的矩线性算运

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例设

3 0 2 1 A = 21 ,B = 2 2, 且2A 3 X = B, 解

求矩阵 X

.

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、三阵矩的法乘1 引.例引 1 例线变换性的积乘

引例2 总 入与总收润利

2.

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定义 定义 4设矩 A阵 =ai()jm×p , B= ( ij)b×p ,n(a ( Cb= (cij m)n×, 中其 c(cij =ai1 1bj +i2ab2j+ · · +·a ibppj ∑aik=bj k, i =1,2, ··· m, j = 1; ,2 ,··· n,,k = 1p

则称阵 C矩 矩为阵 A 与阵矩B 乘的 积记作 乘积, 的C= AB .A .B注: 意注:意只有第当个一阵(左矩矩) 阵有当第只一矩阵个左(阵)的矩数等于第列二个矩(右阵矩)的阵行时数,两矩个阵能相乘.才 二个矩(右矩阵)阵的数行时两个,矩阵能才相乘

.例

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利下用模列计算两个型矩的乘阵 利用积下模列型算两计矩个的阵积.乘：2 ×A 2× B 2×2 :A 2 × 3 ×B3× 3: A 3 3 ××B × 33例 利用下列模型证验单矩位阵的质性利 用列下型模验证位单阵矩的质.性2A 3 × ×E3× 3 :3E ×3 ×A 3

×3

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4例 知已 A= 12 0 1 30 4 1 ,B = 12 2 1 1 1 0 30 3 ,1 4 求 A.B解

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例 5矩阵求

24 2 4 A= 1 2 , B = 3 6 的积 A乘 及 BAB

.

解A: ×22 × B2 × 2

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义定了阵的矩法运算乘, 后义了定阵的乘法运算矩后 于对线方程性组 a11 x 1 a+2 x 1 +2 + a1 x nn= 1b , ax +a x + +ax = b 21 ,1 22 2n2 n2 a m1x 1 + a m2 2 x + + a nm xn b=m , 若 令

a1 1a12 a1n x 1 b1 a2 122a a n 2 X x=2 ,b = 2 b, A = , x b aa a n m m n 1m 2

m

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上则线性方述程组可写成下矩如阵形式 则上述线:性程组方写可如成下矩形式阵AX =b .b.关矩于的乘法阵算运,需要 注以意下点几:关于矩 的乘法运阵 需算注要以下几意点()1 矩阵的法运算不满乘交足换.律 阵的乘矩运算法满足不换律.交AB 有定 B义不A定一有义定如 例4 有定义, 不一有定定义.不一 有定义 的矩阵定A 定有,义 没有就义. 的矩定阵 B和 AB ,定义有 BA但就 有没义定都 有义定, 们它不一也定相等.使 B与AA B都有定义它们 也不一定相 等如例 5 所与, 以然都虽有义定,中AB和B A虽然都定有义 但B ≠ ABA .所以 和 在乘法作,时指应明们它相的乘次序 作乘法时应 指它们相乘的明序次 应.明它指们相的乘序 左乘 B”或“次B 乘右A ” 或.如 A B读 作“ A 即中

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() 两个2非矩阵零的乘可能是积零阵.矩例如 本 节例 中 A5≠ O, B O,≠但 BA = O

.(3) 阵的矩乘法不满足消去律即如,果矩 的乘法不阵满消足律去 ,B =A C,BB ≠ O, 不一 定能出 推A= .C B,例C如 1 1 1 1 2 0= A 32 , B = 1 ,1C = 4 5 2 2 B A=CB = 1 1 ,B ≠O ,但 A C≠.

3

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.算规律(运)1 O×kAmmp×= O×pk, Am× Op×pn =mO×n ×;(2) 设 是Am n× 阵 矩E m m 阶是单矩位 矩阵 ,阶位单矩阵, 阵 En,是 n 单阶矩阵位则 Em A= A ,AnE= ;A()3 (B)AC= AB();C(4) AB + () C =A +B A, CB ( +)A C= BA+ CA (5);k (A)B= (kA) =B (AB).k四