2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)

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一、课题引入

我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1

y kx bx y 1 a b

一般式: Ax By C 0

y2 y1 k x2 x1

tan

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二、新课讲授

问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角 , 求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) sin 要注意: 把它变成y y0 ( x x0 ) x 0, y0 都是常 cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数) y y0 t sin

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M M (x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) 0 y 设e是直线l的单位方向向量，则 M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x 所以 x0 t cos , y y0 t sin 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O x x0 t cos (t为参数) y y0 t sin

问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角 , 求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则

x

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x 3 t sin 200 ()直线 1 (t为参数)的倾斜角是( ) B 0 y t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600

2 t x 1 2 (t为参数) y 2t (2 )直线x y 1 0的一个参数方程是 。 2

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思考: 由M 0 M te, 你能得到直线l的参数方 解: M M te M 0 M te 0

程中参数t的几何意义吗？y M M0

又 e是单位向量， e 1 这就是t的几何 M 0M t e t 意义,要牢记所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|

eOx

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我们是否可以根据t的值来确定向量 M 0 M

我们知道e是直线l的单位方向向量，那 么它的方向应该是向上还是向下的？还 M 0M

的方向呢?

是有时向上有时向下呢？ 分析: 此时,若t>0,则 是直线的倾斜角， 当0< < 时, sin >0 M 0 M 的方向向上; 又 sin 表示e 的纵坐标， 若t<0,则 e 的纵坐标都大于0 M 0 M的点方向向下; 那么e 的终点就会都在第一，二象限， e 的方向 若t=0,则M与点 就总会向上。 M0重合.

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三、例题讲解 例1 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交

于 例1.

A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 Ay

M(-1,2)

O

B

x

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三、例题讲解 x y 1 0 解：由 y x2 得：2 x 1 0 x

(*)

由韦达定理得：1 x2 1,x1 x2 1 x AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10

3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ,y2 由(*)解得：x1 ,x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , ),B( , ) 2 2 2 2则 MA MB ( 1 1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2

3 5 3 5 4 2

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()如何写出直线的参数方程？ 1 l

①

()如何求出交点 ，B所对应的参数1,t 2 ? 2 A t①

( ) AB 、 MB 与t1,t 2有什么关系？ 3 MA

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探究直线与曲线y f ( x)交于M 1 , M 2两点，对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？

(2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少？

(1) M 1M 2 t1 t2 t1 t2 (2)t 2

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课堂练习1 x 1 2 t 1.一条直线的参数方程是 (t为参数), y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点(1,-5)间的距离是

4 3

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课堂练习

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四、课堂小结1.直线参数方程

2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离. 1时， 2 2 当a b

x=x0 t cos y y0 t sin

探究:直线的 参数方程形 (t是参数) 式是不是唯 一的

3.注意向量工具的使用.

x x0 at |t|=|M t 才具有此几何意义 (t为参数) 0M| y y0 bt 其它情况不能用。

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P41习题2.3 1、 3

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