对2010年陕西省高考数学(理科)试题的分析与思考

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对2010年陕西省高考数学（理科）试题的分析与思考

陕西省教育科学研究所 马亚军

一、试卷分析

1．内容结构分析

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2．题型题量及分值分布

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二、试题的特点

1．注重对基础知识与基本技能的考查

第3题：对于函数f(x)=2sinxcosx,下列选项正确的是（ ）

A. f(x)在（ππ

4,2

）上递增的

B. f(x)的图象关于原点对称C. f(x)的最小正周期为2π D. f(x)的最大值为2

第7题：若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ A. 13

B.

23

C. 1 D. 2

）

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2．注重对基本数学思想、方法和能力的考查

第15题：（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．(不等式选做题) 不等式|x+3|-|x-2|≥3的解集为B．(几何证明选做题) 如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D，则

BD

DA

C．（坐标系与参数方程选做题）已知圆C的参数方程为

x cos ,

（ 为参数），

y 1 sin

以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

sin 1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为.

第12题：观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为 . ．．．．．

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3．注重实际问题的创设，考查学生的应用意识 第19题：（本小题满分12分）

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

（Ⅰ）估计该校男生的人数；

（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；

（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在．．

170~180cm之间的概率.

解：（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. （Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35

人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率

f

35

0.5,故由f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率p=0.5. 70

（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间

的人数为4.

设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170~180cm

112

C6 C4 C42

). P(A) 2

3C10

2

C62

之间”，则P(A) 1 2 (或

C103

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4．注重试题背景的创新，考查学生实践能力和创新意识

第10题：某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x．．6．之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为（ B ）

A.y

x

10

B. y

x 3

10

C. y

x 4

10

D. y

x 5

10

第21题：（本小题满分14分） 已知函数f(x) x,g(x) alnx,a R.

(Ⅰ)若曲线y=f(x)与y=g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程； (Ⅱ)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值 (a)的解析式； (Ⅲ)对Ⅱ中的 (a)和任意的a>0,b>0,证明： (解 (Ⅰ)f (x)

12x

,g (x)

a

(x 0)， x

a b (a) (b)2ab

≤ ()≤).

22a b

x alnx,

e 2

由已知得 1a 解得 a ,x e,

2 , x2x

∴两条曲线交点的坐标为（e2,e）. 切线的斜率为k f (e2) ∴切线的方程为y e

1

(x e2). 2e

1, 2e

(Ⅱ)由条件知h(x) x alnx(x 0)， ∴h (x)

12x

a

x

x 2a

， 2x

（i）当a>0时，令h (x) 0,解得x=4a2,

∴当0<x<4a2时,h (x) 0,h(x)在(0,4a2)上递减； 当x>4a2时，h (x) 0,h(x)在(4a2, )上递增.

∴ x=4a2是h(x)在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)

的最小值点.

∴最小值 (a) h(4a2) 2a aln4a2 2a(1 ln2a).

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（ii）当a≤0时，h (x)

x 2a

0，h(x)在（0，+∞）上递增，无最小值. 2x

故h(x)的最小值 (a)的解析式为 (a) 2a(1 ln2a)(a 0). Ⅲ)由（Ⅱ）知 (a) 2ln2a，

对任意的a>0,b>0,

(a) (b)

2ln2a 2ln2b

22 ln4ab,

(a b2) 2ln(2 a b2

) ln(a b)2≤ ln4ab,

(2ab2ab

4aba b) 2ln(2 a b)≥ 2ln

2ab

ln4ab 故由①,②,③得 (a b (a) 2ab2)≤ (b)

2≤ (a b

).

① ② ③

(

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三、考试的效果及启示

（一）考试的效果 （二）启示

2010年12月19日